三次B样条曲线在参数 u 处分割为两段的方式

几何建模中的基本操作。该过程通过就是将一条三次B样条曲线在给定参数值 u 处分割为两段新的B样条曲线，节点插入算法构建，最终得到两条独立的B样条曲线，分别对应原曲线在 [u₀, u] 和 [u, uₘ] 上的部分。

1. 基本定义

• 曲线次数：p = 3（三次）
• 控制点：P₀, P₁, ..., Pₙ
• 节点向量：U = {u₀, u₁, ..., uₘ}，其中 m = n + p + 1
• 分割参数：u ∈ [uₖ, uₖ₊₁)，位于第 k 个节点区间
• 目标：将原曲线 C(u) 分割为：
  • 左段曲线 C₁(u)，定义在 [u₀, u]
  • 右段曲线 C₂(u)，定义在 [u, uₘ]

每段仍为三次B样条，具有新的控制点和节点向量。

2. 方法：节点插入法（Knot Insertion）

通过在节点向量中插入节点 u，直到其重复度达到 p = 3，使得 u 成为一个“断点”，从而可自然分割曲线。

插入一次节点 u 的控制点更新公式

设原控制点为 Pᵢ，插入 u 后生成新控制点 Qᵢ。

对于 i = k - p + 1 到 k： Qᵢ = αᵢ × Pᵢ + (1 - αᵢ) × Pᵢ₋₁

其中： αᵢ = (u - uᵢ) / (uᵢ₊ₚ - uᵢ)

注：当分母为0时，定义 αᵢ = 1。

插入一次后，控制点数增加1，节点向量变为： U' = {u₀, ..., uₖ, u, uₖ₊₁, ..., uₘ}

重复此过程，共插入3次（因 p = 3），即可使 u 的重复度达到3。

3. 分割后两段曲线的控制点

假设经过3次节点插入后，新增了3个控制点，原控制点序列被更新。

设最终在参数 u 处对应的控制点为：

• 左段终点：Pₗ = C(u)
• 新控制点序列中，与 u 相关的三个点趋于重合（用于形成角点）

左段曲线 C₁(u)（对应 [u₀, u]）

• 控制点：Q₀, Q₁, ..., Qₖ, Pₗ, Pₗ, Pₗ
  （共 k+4 个点，末尾重复3次以闭合曲线）
• 节点向量：U₁ = {u₀, u₁, ..., uₖ, u, u, u, u}
  （u 重复4次，符合三次B样条端点条件）

右段曲线 C₂(u)（对应 [u, uₘ]）

• 控制点：Pₗ, Pₗ, Pₗ, R₀, R₁, ..., Rₙ₋ₖ
  （开头重复3次）
• 节点向量：U₂ = {u, u, u, u, uₖ₊₁, ..., uₘ}
  （u 作为起点，重复4次）

说明：Pₗ = C(u) 是分割点处的曲线值，可通过 de Boor 算法计算。

4. de Boor 算法计算 C(u)

若需显式计算分割点位置 C(u)，可使用 de Boor 算法：

设 u ∈ [uₖ, uₖ₊₁)

初始化： dᵢ = Pᵢ₋₃, for i = k - 2, k - 1, ..., k + 3

递推（r = 1 to 3）： dᵢ⁽ʳ⁾ = (1 - αᵢ) × dᵢ₋₁⁽ʳ⁻¹⁾ + αᵢ × dᵢ⁽ʳ⁻¹⁾

其中： αᵢ = (u - uᵢ) / (uᵢ₊₃ - uᵢ)

最终： C(u) = dₖ⁽³⁾

5. 分割后曲线性质

性质	说明
连续性	左右两段在 u 处保持 C² 连续（若未插入足够节点）；插入3次后为 G⁰ 连续（位置连续）
形状保持	分割不改变原曲线形状
控制多边形	新控制点通过线性插值得到，几何意义明确

6. 使用步骤总结

1. 确定分割参数 u 所在的节点区间 [uₖ, uₖ₊₁)
2. 使用节点插入公式，将 u 插入3次（p = 3）
3. 每次插入更新控制点：Qᵢ = αᵢ × Pᵢ + (1 - αᵢ) × Pᵢ₋₁
4. 得到新控制点序列和节点向量
5. 提取左段和右段的控制点与节点向量
6. 构造两段独立的三次B样条曲线