一些奇怪的数论预处理算法

注意：以下内容可能全都是useless algorithm。
以下默认 \(p\) 为模数。

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在线 \(\mathcal O(1)\) 求逆元

参考这篇博客，可以在这里提交。

需要 \(\mathcal O(p^{\frac 2 3})\) 的预处理。

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在线 \(\mathcal O(1)\) 求gcd

参考这里。

需要 \(\mathcal O(\text{值域})\) 的预处理。

具体思路是用线性筛将一个数分解成至多3个数，使得这3个数要么是质数要么是不超过 \(\sqrt{\text{值域}}\) 的数。

同时我们再预处理一个 \(\sqrt{\text{值域}}\times \sqrt{\text{值域}}\) 的表，表示 \(\sqrt{\text{值域}}\) 内的数两两gcd，递推可以不带log。

于是求 \(\gcd(a,b),a=xyz\) 时可以求出

\[d_1=\gcd(x,b\bmod x),d_2=\gcd(y,b/d_1\bmod y),d_3=\gcd(z,b/d_1d_2\bmod z) \]

即可得到 \(\gcd(a,b)=d_1d_2d_3\)。

将 \(x\) 分解的方法是，找到 \(x\) 的最小质因子 \(p\)，根据 \(x/p\) 的分解 \(x/p=r_1r_2r_3(r_1\le r_2\le r_3)\) 得到 \(x\) 的分解 \(x=(r_1p)r_2r_3\)。

显然只需证明 \(r_1p\) 为质数或不超过 \(\sqrt x\) 即可。显然有 \(r_1\le (x/p)^{\frac 1 3}\)，分类讨论：

1. \(p\le x^{\frac 1 4}\)，此时易推得 \(r_1p\le \sqrt x\)

2. \(p\gt x^{\frac 1 4}\)，此时 \(x\) 易知只有至多三个质因子，于是必有 \(r_1=1\)。\(\square\)

但由于最终求一次gcd很可能需要3次取模+除法+查表，常数非常大，据说有时跑不过辗转相除。

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在线 \(\mathcal O(\log p)\) 求固定模数下离散对数

需要打表或者 \(\mathcal O\left(\dfrac{p^{3/4}}{\sqrt{\log p}}\right)\) 的预处理。这个预处理是自己yy的，很可能能进一步优化。

我们只需能 \(\mathcal O(\log p)\) 求出某个原根 \(g\) 为底时任意数的离散对数。

则一般离散对数问题 \(A^x=B,A=g^a,B=g^b\) 只需再求解线性同余方程 \(ax\equiv b\pmod {p-1}\) 即可。

我们考虑预处理出 \(\sqrt p\) 内的数的离散对数，那么此时若要求解 \(x\gt \sqrt p\) 的离散对数，可以采用如下的方法：

做带余除法 \(p=ax+b(b\lt x)\)，则有 \(x\equiv \dfrac{-b}{a}\pmod p\)，且 \(a\le \sqrt p\)，所以 \(\log a\) 是已知的。

\(\log(-1)=\dfrac{p-1}{2}\) 是显然的。于是若我们知道 \(\log b\) 即可求出 \(\log x=\log(-1)+\log b-\log a\)。递归求解 \(\log b\) 即可。

但是复杂度没有保证，因此我们稍作变形：若 \(b\le x/2\)，直接向下递归；否则考虑 \(p=ax+b=(a+1)x+(b-x)\implies x\equiv\dfrac{x-b}{a+1}\pmod p\)，递归求解 \(\log(x-b)\) 即可。

好的，所以现在我们仅需处理出 \(\sqrt p\) 内的数的离散对数了！我们考虑线性筛，则仅需处理出 \(\sqrt p\) 内的素数的离散对数。

于是可以打表，这个其实应该最实用。但是如果模数没有提前给定，我们可以直接BSGS求解这些数的离散对数。

注意BSGS是可以平衡预处理复杂度和查询复杂度的，根号平衡一下就得到了上面的 \(\mathcal O\left(\dfrac{p^{3/4}}{\sqrt{\log p}}\right)\)。

这个算法的递归求解常数应该与辗转相除求gcd类似（实测挺快的），但是这个预处理由于BSGS需要开一个很大的哈希表应该是挺慢的……总之推荐打表。

模质数求逆元也可以用这个带余除法做到不预处理，\(\mathcal O(\log x)\) 单组（而且常数应该还不错？）。