斯特林数
斯特林数
这一部分是我在阅读《具体数学》时做的一些类似于摘抄的东西。
不过补上了很多没有给出的证明。
第二类斯特林数
我们记 \(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个物品分为 \(k\) 个非空集合的方案数，读作“\(n\) 集合 \(k\)”。称为“第二类斯特林数”或“斯特林集合数”。
我们从一些基础的情况出发：
-
\(\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix} = 1\)：把 \(n\) 个元素全部归为 \(1\) 个集合。
-
\(\begin{Bmatrix}n\\n\end{Bmatrix} = 1\)：把 \(n\) 个元素各成一个集合。
-
\(\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix} = [n = 0]\)。
-
\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = 0(n < k)\)。
接下来从组合意义上考虑它的归纳式：
我们新加入第 \(n\) 个元素，最后得到了 \(k\) 个非空集合。考虑如何操作第 \(n\) 个元素：
放到一个新的集合中，则原来有 \(k-1\) 个集合，\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} \gets \begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}\)；
放入原来的任一个集合中，则原来有 \(k\) 个集合，并且第 \(n\) 个元素有 \(k\) 个不同的集合可供选择，\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} \gets k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\)。
因此有：
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix} \tag{1.1}
\]
得到第二类斯特林数表：
| \(n\) | \(\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\2\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\3\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\4\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\5\end{Bmatrix}\) | \(\begin{Bmatrix}n\\6\end{Bmatrix}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(2\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(3\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(4\) | \(0\) | \(1\) | \(7\) | \(6\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(5\) | \(0\) | \(1\) | \(15\) | \(25\) | \(10\) | \(1\) | \(0\) |
| \(6\) | \(0\) | \(1\) | \(31\) | \(90\) | \(65\) | \(15\) | \(1\) |
