📚【笔记】牛顿迭代法

原理

我们尝试解出 \(f(x)\) 的一个近似解 \(x\) 。

从一个初始的近似解 \(x_0\) 开始。

与 \(f(x)\) 切于 \(\left(x,f(x)\right)\) 的直线 \(l\) 与 \(x\) 轴的交点 \(x_{i+1}\) 为一个更优解。

根据导数几何意义：

\[f'(x) = \frac{f(x_i)}{x_i-x_{i-1}} \]

于是更优解 \(x_{i+1}\) 即可表示为：

\[x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \]

牛顿迭代法的收敛率是平方级别的，这意味着每次迭代后近似解的精确数位会翻倍。

应用

求解平方根

我们想求 \(\sqrt n\) ，即 \(f(x) = x^2 - n\) 的一个近似解 \(x\) 。

又知 \(f'(x) = 2 \cdot x\) ，则：

\[x_{i+1} = \frac{x_i+\frac{n}{x_i}}{2} \]

typedef unsigned long long ull;
double _eps = 1e-12;
ull s_n_tmp1, s_n_tmp2;
double sqrt_newton(double _n) {
	s_n_tmp1 = ull(_n);
	register double _x, _x_n;
	if(s_n_tmp2 = (s_n_tmp1>>32)) 
		_x = 1LL<<(32-(__builtin_clz(s_n_tmp2)>>1));
	else 
		_x = 1LL<<(16-(__builtin_clz(s_n_tmp1)>>1));
	while(1) {
		_x_n = (_x+_n/_x)/2;
		if(fabs(_x-_x_n) < _eps) 
			break;
		_x = _x_n;
	}
	return _x;
}

比拟合数据制定初始值常数靠谱多了。

而且效率几乎与最优的拟合值一致。