【数学】组合数学

组合数

定义

\(\large\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!\times(n-m)!}\)

性质

1. \(\large\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\)

2. \(\large\sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i} = 2^n\)

3. \(\large\sum\limits_{i = 0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i} = \left[n = 0\right]\)

4. \(\large\sum\limits_{i = 0}^{m}\binom{n}{i}\binom{m}{m-i} = \binom{m+n}{m}\) \(\large(if\ n == m)\sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n}\)

5. \(\sum\limits_{i = 0}^{n}i^2\)

6. \(\large\sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1}\)

7. \(\large\sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n-i}{i} = F_{n+1}\)

康托展开

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
const int z = 65536;
struct BIT {
	int tree[z];
	int maxn;
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	int query(int pos) {
		int res = 0;
		for(pos;pos > 0;pos -= lowbit(pos)) 
			res += tree[pos];
		return res;
	}
	int query(int l,int r) {
		return query(r)-query(l-1);
	}
	void modify(int pos,int val) {
		for(pos;pos <= maxn;pos += lowbit(pos)) 
			tree[pos] += val;
	}
	#undef lowbit
	void init(int size) {
		memset(tree,0,(maxn+1)*sizeof(int));
		maxn = size;
	}
} bit;
int fact[z], tot;
int getfact(int x) {
	if(!fact[x]) {
		for(tot++;tot <= x;++tot) 
			fact[tot] = fact[tot-1]*tot;
	}
	return fact[x];
}
int n;
int rank;
void Cantor() {
	scanf("%d",&n);
	rank = 0;
	fact[0] = fact[1] = 1;
	tot = 1;
	bit.init(n);
	for(int i = 1, tmp;i <= n;++i) {
		scanf("%d",&tmp);
		int k = tmp-bit.query(tmp)-1;
		bit.modify(tmp,k);
		printf(" > %d\n",k);
		rank += k*getfact(n-i);
	}
	rank++;
	printf("%d",rank);
}
void reCantor() {
	scanf("%d %d",&n,&rank);
	rank--;
	fact[0] = fact[1] = 1;
	tot = 1;
	bit.init(n);
	for(int i = n, tmp;i >= 1;--i) {
		tmp = (int)floor(1.0*rank/getfact(i-1));
		int k = tmp+1;
		while(bit.query(k) >= k-tmp) k++;
		bit.modify(k,1);
		printf("%d ",k);
		rank -= tmp*getfact(i-1);
	}
}
signed main() {
	//to do;
}

明安图-卡特兰数

1.\(\large \operatorname{Cat}_n = \sum\limits_{i=0}^{n}(\operatorname{Cat}_i\times\operatorname{Cat}_{n-i})\)

2.\(\large(n-3)\operatorname{Cat}_n=\frac{n}{2}\times\sum\limits_{i=3}^{n-1}(\operatorname{Cat}_i\times\operatorname{Cat}_{n+2-i})\)

3.\(\large\operatorname{Cat}_n=\operatorname{Cat}_{n-1}\times\frac{4\cdot n-2}{n+1}\)

4.\(\large\operatorname{Cat}_n=\frac{\binom{2\cdot n}{n}}{n+1}\)

5.\(\large\operatorname{Cat}_n=\binom{2\cdot n}{n}-\binom{2\cdot n}{n-1}\)

ull C(ull u,ull d,ull p) {
	return fact[u]*inv[d]%p*inv[u-d]%p;
}
ull Cat(ull a,ull p) {
	return C(a<<1,a,p)-C(n<<1,n-1);
}

错排

错排

我们定义\(\operatorname{cross}_i\)为对于一个给定排列\(\{P_i\}\)，保证\(\forall i,P_i \not = S_i\)的排列\(S_i\)的个数。

则有

\[\operatorname{cross}_n = (n-1)\cdot(\operatorname{cross}_{n-2}+\operatorname{cross}_{n-1}) \]

以及

\[\operatorname{cross}_n = \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\cdot\frac{n!}{i!} \]

顺便

\[\operatorname{cross}_n = \frac{n!}{e} \]

扩展

定义\(\operatorname{exc}_{n,k}\)为正常错排过程中有\(k\)个元素没有限制所产生的排列数。

如：

P : 1 2 3
S : 2 3 4

\(S\)中\(4\)无限制，可以放在任意位置。

则有：

\[\operatorname{exc}_{n,k} = \operatorname{exc}_{n-1,j-1}+\operatorname{exc}_{i,j-1} \]

边界是：

\[\operatorname{exc}_{n,0} = \operatorname{cross}_n \]

分拆数

分拆与分拆数

分拆：将自然数 \(n\) 写成递降正整数和的表示。

分拆数： \(p_n\) ，即自然数 \(n\) 的拆分方法数。

k 部分拆数

\(k\) 部分拆数：将 \(n\) 分成恰有 \(k\) 个部分的分拆，称为 \(k\) 部分拆数，记作 \(p_{n,k}\) 。

显然 \(p_{n,k}\) 为 \(k\) 元一次方程：

\[\large n-k = x_1+x_2+x_3=\cdots+x_k\quad(x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_k \ge 0) \]

的解数（之所以有 \(n-k\) 是为了保证每一部分大于零）。

如果此方程有 \(l\) 个部分非零，则有新方程：

\[\large n-k-l = x_1+x_2+\cdots+x_l\quad(x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_l \ge 0) \]

解数为 \(p_{n-k,l}\) 。

因此：

\[\large p_{n,k} = \sum\limits_{l = 1}^{k}p_{n-k,l} \]

而

\[\large p_{n-1,k-1} = \sum\limits_{l = 1}^{k-1}p_{n-k,l} \]

所以有：

\[\large p_{n,k} = p_{n-1,k-1}+p_{n-k,k} \]

Ferrers 图

Ferrers 图 ：将分拆的每个部分用点组成的行表示，每行点的个数为这个部分的大小。

如分拆 \(12 = 5+4+2+1\) 的 Ferrers 图 为：

⬤	⬤	⬤	⬤	⬤
⬤	⬤	⬤	⬤
⬤	⬤
⬤

共轭 ： 将一个 Ferrers 图 沿着对角线翻转，得到的新 Ferrers 图 称为原图的 共轭；新分拆称为原分拆的共轭。

如分拆 \(12 = 5+4+2+1\) 的共轭为： \(12 = 4+3+2+2+1\) 。其 Ferrers 图 的共轭为：

⬤	⬤	⬤	⬤
⬤	⬤	⬤
⬤	⬤
⬤	⬤
⬤

最大 k 分拆数

最大 \(k\) 分拆数：自然数 \(n\) 的最大部分为 \(k\) 的分拆个数。

根据共轭， \(n\) 最大 \(k\) 分拆数 \(=\) \(k\) 部分拆数。

互异分拆数

互异分拆数：\(pd_n\) ，自然数 \(n\) 的各部分互不相同的分拆方法数。

互异 \(k\) 部分拆数： \(pd_{n,k}\) ，自然数 \(n\) 的分成 \(k\) 部分的互异分拆方法数。

\[\large pd_{n,k} = pd_{n-k,k-1}+pd_{n-k,k} \]

方法类似上面。