【笔记】Prüfer 序列

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1. 对树建立 Prüfer 序列

\(\rm Def.\) Prüfer 序列的构建如下：
每次选择树中编号最小的叶节点并删去它，并在一个初始为空的序列末加入其连接到的节点，直到整个树剩下 \(2\) 个节点（即 Prüfer序列 的长度为 \(n-1\)）

实现

首先可以用堆，这显然是 \({\cal O}(n \log n)\) 的。

不过 Prüfer 序列也可以线性构造，过程：
0. 用一个指针 \(p\) 指向编号最小的叶节点；

1. 删除 \(p\) 指向的节点；
2. 如果产生新的叶节点，且编号小于原节点，删除之，并重复本步；
3. 让 \(p\) 自增，直至指向一个未被删除的叶节点。
   这个算法的正确性是有保证的，因为每次删除的一定是最小的叶节点。第 2 步中产生的新的叶结点中编号大于原节点的一定会在之后被扫描到。
   时间复杂度上，\(p\) 至多自增 \(n-1\) 次，而第二步产生新的叶节点一定会消耗边，一棵树只有 \(n-1\) 条边，故总的时间复杂度是 \({\cal O}(n)\) 的。

2. 性质

1. 最后剩下俩节点，其中必有 \(n\)；
2. 每个节点 \(v\) 出现 \({\rm deg}(v)-1\) 次。

3. 用 Prüfer 序列重构树

用 Prüfer 序列还原整棵树上节点的度数，找到序号最小的叶节点，prüfer 序列的第一个元素就是它的父节点。之后将它的父节点度数减一，继续之前的过程。

用堆维护，是 \({\cal O}(n \log n)\) 的。

重构也有线性的算法，和 [[Prüfer序列#实现|对树建立 Prüfer 序列的线性算法]] 如出一辙。

4. 代码

P6086 【模板】Prufer 序列

\({\cal O}(n \log n)\) 实现

void PtT() {
	for(int i = 1;i <= n-2;++i) 
		deg[a[i]]++;
	for(int i = 1;i <= n;++i) 
		if(deg[i] == 0) 
			q.push(i);
	for(int i = 1;i <= n-2;++i) {
		b[q.top()] = a[i];
		q.pop();
		if(--deg[a[i]] == 0) 
			q.push(a[i]);
	}
	for(int i = 1;i <= n-1;++i) {
		if(b[i] == 0) 
			b[i] = n;
		ans ^= 1ll*i*b[i];
	}
}
void TtP() {
	for(int i = 1;i < n;++i) {
		deg[i]++;
		deg[a[i]]++;
	}
	for(int i = 1;i <= n;++i) 
		if(deg[i] == 1) 
			q.push(i);
	for(int i = 1;i <= n-2;++i) {
		b[i] = a[q.top()];
		q.pop();
		if(--deg[b[i]] == 1) 
			q.push(b[i]);
		ans ^= 1ll*i*b[i];
	}
}

傻逼浓缩

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n-m;++i)
        scanf("%d",&a[0][i]);
    if(m == 2)
        a[0][n-1] = n;
    for(int i = 1;i <= n-m;++i)
        deg[a[0][i]]++;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        if(deg[i] == 0)
            q.push(i);
    m--;
    for(int i[2] = {1,0};i[0] < n-(m^1);++i[0]) {
        i[1] = q.top();
        a[1][i[m]] = a[0][i[m^1]];
        ans ^= 1ll*i[m]*a[1][i[m]];
        q.pop()
        if(--deg[a[1][i[m]]] == 0)
            q.push(a[1][i[m]]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

\({\cal O}(n)\) 实现

void TtP() {
	for(int i = 1;i < n;++i) 
		deg[a[i]]++;
	for(int p = 1, i = 0;p < n;++p) {
		int q = p;
		while(!deg[q]) {
			b[++i] = a[q];
			deg[a[q]]--;
			if(a[q] > p) 
				break;
			q = a[q];
		}
	}
}
void PtT() {
	a[n-1] = n;
	for(int i = 1;i < n;++i) 
		deg[a[i]]++;
	for(int p = 1, i = 0;p < n;++p) {
		int q = p;
		while(!deg[q]) {
			b[q] = a[++i];
			deg[b[q]]--;
			if(b[q] > p) 
				break;
			q = b[q];
		}
	}
}

5. 凯莱公式

由上述 [[Prüfer序列#1. 对树建立 Prüfer 序列|Part 1]] 和 [[Prüfer序列#3. 用 Prüfer 序列重构树|Part 3]]，我们得到了一个大小为 \(n\) 的无根树与长为 \(n-2\) 的序列之间的一一对应，所以我们可以证明 Cayley 公式：

\[\text{完全图}\ K_n\ \text{有}\ n^{n-2}\ \text{棵生成树。} \]