晚新闻数学讲评
- 这部份内容很多思路都在学校讲过，有的干脆原题搬上来了，希望大家借此对小学期学习的内容进行回顾。
- 这道题我们发现，如果能都构成 \(a_{2n+1}+a_{2n} = 6n-1\) 的形式就好了。但是有一个 \(a_1\)，怎么办呢？
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我们不妨令 \(n\) 为偶数，那么 \(a_{n+1}+a_n = 3n-1\) 且 \(a_{n}-a_{n-1} = 3(n-1)-1\)。两式相减，得 \(a_{n+1}+a_{n-1} = 2\)，那么 \(a_{n+3}+a_{n+1} = 2\)，两式相减，得 \(a_{n+3} = a_{n-1}\)。
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于是可以得出结论：对于奇数项 \(a_n\)，它等于 \(a_{4k+n}(k \in \mathbb{N})\)。
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这样，我们就可以知道 \(a_1 = a_{40}\)，于是 \(a_1+a_2+\ldots+a_{40} = a_2+a_3+\ldots+a_{41}\)。然后就可以采用一开始设想的两两分组方式了。
- 相信大家基本上可以做到分别求奇数、偶数项的公式这一步，主要讲一下 C 项的思路：
- \(\begin{aligned}&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n(n+1)}\\\le&\frac{3}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}\\ \le&\frac{3}{2}+2\left(\frac{4}{(2 \times 2- 1)(2 \times 2+ 1)} + \ldots + \frac{4}{(2n-1)(2n+1)}\right)\\=&\frac{3}{2}+4\left(\frac{1}{2 \times 2-1}-\frac{1}{2 \times 2+1}+\ldots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\=&\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{4}{2n+1}\\<&3\end{aligned}\)
- 希望同学们至少掌握老师上课讲的递归的方法。我也分享一种方法：
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我们考虑 \(1 \sim 2^{2018}-1\) 中所有因子中有 \(k\) 个 \(2\) 的数 \(x\)，这些数必然表示成 \(2^ka\)（\(a\) 为奇数）的形式，而且 \(g(x) = a\)。而这些奇数 \(a\) 中最大的一个是 \(2^{2018-k}-1\)。于是可知这一部分 \(x\) 的 \(g(x)\) 之和为 \(\sum\limits_{i = 1}^{2^{2017-k}}(2i-1)\)，即 \(\left(2^{2017-k}\right)^2 = 4^{2017-k}\)。
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然后我们把所有部分加起来，就得到 \(\sum\limits_{k = 0}^{2017} 4^{2017-k} = \frac{4^{2018}-1}{3}\)。
- 整道题只要明白 \(c_n\)（\(n\) 为奇数）的式子就行。
- \(\begin{aligned}&\frac{(3n-2)2^n}{2n(n+2)}\\=&\left(\frac{3n-2}{n}-\frac{3n-2}{n+2}\right)2^{n-2}\\=&\left(3-\frac{2}{n}-3+\frac{8}{n+2}\right)2^{n-2}\\=&\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n-1}}{n}\end{aligned}\)
