关于 manacher

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这一节我们试图解决这样一个问题：

给定一个长度为 \(n\) 的串 \(s\)，求其最长回文子串。\(n \leq 10^7\).

大体分析

貌似有 \(n^2\) 个供选择的子串，于是似乎很难有线性的做法。

算法一 暴力 \(\mathcal{O}(n^3)\)

比较屑。把 \(n^2\) 个子串枚举出来，一个个验证。

算法二 动态规划 \(\mathcal{O}(n^2)\)

很显然不能考虑去枚举子串了。

考虑快速判断回文。假设我们已经知道 \(s_{i \cdots j}\) 的 回文性（即是否回文），如何知道 \(s_{i-1 \cdots j+1}\) 的回文性？

很显然。如果用 \(\text{hw}(s) = 0 / 1\) 表示其回文性，\(1\) 为回文的话：

\[\text{hw}(s_{i-1 \cdots j+1}) = \text{hw}(s_{i \cdots j}) | (s_{i-1} == s_{j+1}) \]

\(|\) 就是位运算中的 \(|\) 符号。

很显然，只有 \(s_{i \cdots j}\) 回文且多出的一位可以匹配成功的情况下，\(s_{i-1 \cdots j+1}\) 才是回文。

这样我们可以得到一个有些玄学的 “\(\text{dp}\)” 做法。

考虑求出所有的 \(\text{hw}\) 值，利用刚才的动态规划转移方程，把这玩意儿搞成 区间动规，于是可以 \(\mathcal{O}(n^2)\) 完事了。

算法三 朴素做法 \(\mathcal{O}(n^2)\)

基于算法二，考虑一个不基于动态规划，而基于暴力的做法。

比如 abbcbbc 中，b , bcb , bbcbb 均为回文子串，其特点在于 中心一样。

于是我们可以枚举中心字符，然后不断向两边扩展，这个思路也很好理解。

但是对于偶数个字符的问题，貌似解决不了。

一个方法是，枚举完奇数之后，枚举 \(s_i = s_{i+1}\) 的所有 \(i\)，再向两边扩展。

这个方法比较易懂一些。但是下面我们要介绍一个，更贴合 \(\text{manacher}\) 特点的解决方案。

考虑本来的串是 abbcbbc，对于偶数回文子串 bb，考虑只枚举一个中心就做完的方案。

也就是这样操作：将原串每两个字符的间隔内加上一个新的，原串中没有的字符，一般用 # 表示。即

$\texttt{abbcbbc} \rightarrow $ #\(\texttt{a}\)#\(\texttt{b}\)#\(\texttt{b}\)#\(\texttt{c}\)#\(\texttt{b}\)#b#\(\texttt{c}\)#

这样你会发现一件事。对于原来就有的字符，枚举其中心的做法没有问题，只不过要对长度进行处理罢了，这样解决了奇数回文的情况；而对 # 的中心扩展方案，则是解决了偶数回文的情况。

这样子串长度翻了一倍，但循环一遍即可解决，较为简单。

于是，我们管这个算法叫 “朴素算法”。虽然 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的复杂度不优于上述动态规划的复杂度，但在思维上已经跨出了一大步。

算法四 \(\text{manacher} \space \mathcal{O}(n)\)

质的飞跃即将到来了。

先着手解决奇数串。因为上述添加 # 的操作，偶数串用同样的代码即可求出。

令 \(d\) 表示以 \(i\) 为中心的奇数串的个数，方便记忆。

下面考虑 \(d_{i-1} \rightarrow d_i\) 怎么做。为方便，我们令 \(l,r\) ，其中 \(r\) 是当前回文子串最右侧的位置，\(l\) 为其对应的子串左端点。

如果 \(i>r\)，我们只能调用朴素算法。因为与前面的元素无法形成联系。

另外 \(i \leq r\) 的情况比较难解决。

由于 \(i\) 包含在 \(s_{l \cdots r}\) 的回文串中，则必然存在 \(s_i = s_{l+r-i}\)，并且 在该范围内，以 \(l+r-i\) 为中心的回文子串必然也有与其对应的以 \(i\) 为中心的回文子串。注意 “在该范围内”。此时令 \(j = l+r-i\).

于是是否意味着 \(d_i = d_j\) 呢？不是的。

因为很有可能，以 \(j\) 为中心的最长回文子串的左端点超出了 \(l\)，此时就不一定会产生对应关系。也就是 \(j - d_j < l\) 的时候，需要分类讨论。

考虑这个时候，我们用朴素算法求解。也就是暴力拓展。

无论什么情况，不要忘记维护 \(l,r\) 的值。

算法讲完了。可你觉得这是对的么？

时间复杂度证明

简单地证明，\(\text{manacher}\) 算法的时间复杂度是线性 \(\mathcal{O}(n)\) 的。

因为很显然，\(r\) 只会不断变大（或不变）。每一次朴素做法都是将 \(r\) 不断扩大，再至多从 \(r\) 开始继续暴力搜。

这样 \(r \uparrow\) 的复杂度是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，往左扫的次数和往右扫一样，也是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，其余部分也都是线性的。

这样最终的复杂度就是 \(\mathcal{O}(n)\) 了。

于是我们成功的在 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间内解决了最长回文子串问题。