洛谷 P1891 疯狂LCM 题解
享受推式子的乐趣吧
数论真有趣!
庆祝:数论紫题第 \(3\) 道。
\[\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n)
\]
\[= \sum_{i=1}^n \frac{i \times n}{\gcd(i,n)}
\]
\[= n \times \sum_{i=1}^n \frac{i}{\gcd(i,n)}
\]
\[= n \times \sum_{d|n} \sum_{i=1}^n \frac{i}{d} [\gcd(i,n) == d]
\]
\[= n \times \sum_{d|n} \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} i [\gcd(i,\frac{n}{d}) == 1]
\]
\[= n \times \sum_{d|n} \sum_{i=1}^d i [\gcd(i,d)==1]
\]
(注:由于 \(d\) 是枚举因数,因数成对出现,所以 \(\frac{n}{d}\) 等同于 \(d\)).
\[= n \times \sum_{d|n} \frac{d}{2} \phi_d
\]
感觉,数论上大部分是 gcd,然后就是欧拉筛
欧拉筛 日常一下,然后可以提前计算答案。(类似于打表?)
时间复杂度: \(O(n \times d)\). (\(d\) 的值之后解释)
空间复杂度: \(O(n)\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N1=1e6+1;
const int N=1e6;
inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int T; ll ans[N1];
ll n,f=0;
ll phi[N1],prime[N1];
inline void Euler() {
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++) {
if(!phi[i]) prime[++f]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=f && i*prime[j]<=N;j++) {
if(i%prime[j]==0) {
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
} //欧拉筛模板
int main(){
T=read(); Euler();
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=i;j<=N;j+=i) ans[j]+=phi[j/i]*(j/i)+1>>1;
while(T--) {
n=read();
printf("%lld\n",n*ans[n]);
}
return 0;
}
下面分析一下时间复杂度。
你会发现,除了这一段:
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=i;j<=N;j+=i) ans[j]+=phi[j/i]*(j/i)+1>>1;
较难计算时间,其余都是 \(O(n)\).
那么这一段的时间,我们再来推个式子:
\[= \sum_{i=1}^n \frac{n}{i}
\]
\[= n \times (\sum_{i=1}^n \frac{1}{i})
\]
这时,你可能想到了 欧拉调和级数 ,但这里 \(n\) 是有限的。
式子推不下去,我们就打了个暴力。
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int main(){
double x=0;
for(int i=1;i<=1000000;i++) x+=1.0/i;
cout<<x;
return 0;
}
最终结果: \(14.3927\)
那么,这可以认为是较小的一个常数(因为它不会影响程序通过本题)。
所以,最终的时间复杂度为: \(O(n)\).
实际得分: \(100pts\).
简易的代码胜过复杂的说教。