爬山算法和模拟退火算法

爬山算法

大体思路

爬山算法即是模拟爬山的过程，随机选择一个位置爬山，每次朝着更高的方向移动，直到到达山顶

具体操作

把当前的节点和要走的节点的值进行比较。 如果当前节点是最大的，那么不进行操作；反之就用要走的的节点来替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。如此循环直到达到最高点。

缺点

会陷入局部最优解。只适用于计算几何等局部最优解集中的题目。

例题 POJ2420

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 105
int n,go[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
double x[maxn],y[maxn],sx,sy;
double calc(double x1,double y1){
	double ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		ans+=sqrt((x1-x[i])*(x1-x[i])+(y1-y[i])*(y1-y[i]));
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%lf%lf",x+i,y+i),sx+=x[i],sy+=y[i];
	}
	sx/=n,sy/=n;
	double ans=calc(sx,sy),x1,y1,k;
	for(double i=1e4;i>1e-3;i*=0.9){
		for(int i=0;i<4;i++){
			x1=sx+go[i][0]*i,y1=sy+go[i][1]*i;
			k=calc(x1,y1);
			if(k<ans){//如果x1,y1比sx,sy更优，就更新sx,sy,ans 
				ans=k,sx=x1,sy=y1;
			}
		} 
	}
	printf("%.0lf",ans);
	return 0;
}

模拟退火

模拟退火和爬山只有一点不同：

如果当前节点比要走的节点更优，则爬山一定不会跳到要走的节点
但模拟退火有一定的几率会跳到要走的节点，并且这个几率越来越小

例题：POJ2069 Super Star

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define maxn 50
int n,id;
double x[maxn],y[maxn],z[maxn];
inline double dis(double x1,double y1,double z1,double x2,double y2,double z2){
	return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)+(z1-z2)*(z1-z2));
}
double calc(double x1,double y1,double z1){
	double ans=dis(x1,y1,z1,x[0],y[0],z[0]),k;
	id=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(ans<(k=dis(x1,y1,z1,x[i],y[i],z[i]))){
			ans=k,id=i;
		}
	}
	return ans;
}
void work(){
	double sx=0,sy=0,sz=0,ans,k,x1,y1,z1;
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf%lf",x+i,y+i,z+i),sx+=x[i],sy+=y[i],sz+=z[i];
	x1=sx/=n,y1=sy/=n,z1=sz/=n;
	ans=k=calc(sx,sy,sz);
	int si=0;
	for(double i=1e2;i>1e-7;i*=0.98){
		x1=sx+(x[id]-sx)/k*i;
		y1=sy+(y[id]-sy)/k*i;
		z1=sz+(z[id]-sz)/k*i;
		k=calc(x1,y1,z1);
		if(k<ans)ans=k;
		if(k<ans||(1ll*rand()*rand()%100000)>++si)sx=x1,sy=y1,sz=z1;//如果不比原先优，则有一定几率去走 
	}
	printf("%.5lf\n",ans);
}
int main(){
	srand(1231435);
	while(~scanf("%d",&n)&&n)work();
	return 0;
}