添加最少括号使得给定括号字符串匹配

问题：

给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如：
[]是匹配的，所需括号个数为 0.
([])[]是匹配的， 所需括号个数为 0.
((]是不匹配的， 所需最少括号个数为 3.
([)]是不匹配的，所需最少括号个数为 2.

 分析：

1. 我们用 mb[i][j] 表示从位置 i  到字符位置 j 所需的最少括号数。假定字符串是 “[ ( )”, 那么 mb[0][0] = mb[1][1]  = mb[2][2] = 1。

2. 如果我们要算mb[i][j+1], 那么，最坏的情况是使得没有被匹配的括号数增加了，即 mb[i][j+1] 最多为 min( mb[i][j] + 1, mb[i+1][j+1] + 1). 但是，这可能不是我们想要的答案，因为在刚才的例子里，即：假定字符串是 “[ ( )”, 那么 mb[0][1] = mb[0][0] + 1= 2， 但是 mb[1][2] 却不等于 mb[1][1] + 1.

3. 那么，什么情况下mb[i][j+1] = mb[i][j] + 1？只有当 字符串里从i 到 j 没有任何字符与第 j + 1 个字符匹配的时候。但是，如果存在和第 j + 1 个字符匹配的情况，问题就不一样了。

4. 假设在i 到 j 之间存在一个字符（比如在位置 k）与第 j + 1 个字符匹配，那么我们相当于把原来的字符串分成了两个部分mb[i][k-1] 和 mb[k+1][j], 因为第k 个 和 j + 1 个字符已经匹配掉了。而且，我们不会再考虑 i 到 k - 1 的字符会和 k + 1 到 j 之间的字符匹配的情况，因为我们已经把这两个部分完全分开了（很重要的一点，这也是我当时思考很久的地方）。话句话说 mb[i][j+1] = min(min( mb[i][j] + 1, mb[i+1][j+1] + 1),  mb[i][k-1] + mb[k+1][j]).

 

有了这样的分析，我们可以利用动态规划的思路来解决这样的问题。代码如下：

public static void minBrace(String s) {

    int size = s.length();
    // we begin with mb[1][1]
    int[][] mb = new int[size + 1][size + 1];
    for(int i = 1; i <= size; ++i){  
        mb[i][i] = 1;  
    }
    
    // d refers to the distance between i and j, that is d = j - i
    for(int d = 1; d < size; d++){  
        for (int i = 1; i + d <= size; i++) {
            int j = i + d;
            // the worst case
            mb[i][j] = Math.min(mb[i][j - 1], mb[i + 1][j]) + 1;
            // the case in which a char between i and j (= i + d) matches
            // the character at position j + 1
            for (int k = i ; k <= j - 1; k++ ) {
                if (match(s.charAt(k - 1), s.charAt(j - 1)) == true) {                    
                    mb[i][j] = Math.min(mb[i][j], mb[i][k - 1] + mb[k + 1] [j - 1]);
                } 
            }
        }
    }
    
    System.out.println(mb[1][size]);  
}

static boolean match(char a, char b){  
    if(a == '(' && b == ')')  
        return true;  
    if(a == '[' && b == ']')  
        return true;  
    return false;  
}