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线性代数:第二章 行列式2

Posted on 2012-07-18 14:56  白途思  阅读(905)  评论(0编辑  收藏  举报

§6 行列式按一行(列) 展开

在§4看到,对于级行列式,有

. (1)

现在来研究这些,究竟是什么.

三级行列式可以通过二级行列式表示:

. (2)

定义7 在行列式

中划去元素所在的第行与第列,剩下的个元素按原来的排法构成一个级行列式

(3)

称为元素的余子式,记作

下面证明

. (4)

为此先证明级行列式与级行列式的下面这个关系,

. (5)

定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式.

这样,公式(1)就是说,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中,如果令第行的元素等于另外一行,譬如说,第行的元素,也就是

于是

右端的行列式含有两个相同的行,应该为零,这就是说,在行列式中,一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.

定理3

表示元素的代数余子式,则下列公式成立:

(6)

(7)

用连加号简写为

在计算数字行列式时,直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算,因为把一个级行列式的计算换成个()级行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.

例1 计算行列式

例2 行列式

(8)

称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的级范德蒙德行列式等于个数的所有可能的差的乘积.

用连乘号,这个结果可以简写为

.

由这个结果立即得出,范德蒙德行列式为零的充要条件是个数中至少有两个相等.

例3 证明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§7 克拉默(Cramer)法则

现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.

定理4 如果线性方程组

(1)

的系数矩阵

(2)

的行列式

那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为

, (3)

其中是把矩阵中第列换成常数项所成的矩阵的行列式,即

(4)

定理中包含着三个结论:1)方程组有解;2)解是唯一的;3)解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的,因此证明的步骤是:

1. 把代入方程组,验证它确是解.

2. 假如方程组有解,证明它的解必由公式(3)给出.

定理4通常称为克拉默法则.

例1 解方程组

应该注意,定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组,它只能应用于这种方程组;至于方程组的系数行列式为零的情形,将在下一章的一般情形中一并讨论.

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的,因为就是一个解,它称为零解.对于齐次线性方程组,我们关心的问题常常是,它除了零解以外,还有没有其它解,或者说,它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克拉默法则就有

定理5 如果齐次线性方程组

(10)

的系数矩阵的行列式,那么它只有零解.换句话说,如果方程组(10)有非零解,那么必有.

例2在什么条件下,方程组

有非零解.

克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系,这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的,因为按这一法则解一个个未知量个方程的线性方程组就要计算级行列式,这个计算量是很大的.

 

 

 

§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则

一、拉普拉斯定理

定义9 在一个级行列式中任意选定列(),位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一个级子式.在中划去这列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式.

从定义立刻看出,也是的余子式.所以可以称为的一对互余的子式.

例1 在四级行列式

中选定第一、三行,第二、四列得到一个二级子式

,

的余子式为

.

例2 在五级行列式

是一对互余的子式.

定义10级子式中所在的行、列指标分别是,则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式.

因为位于行列式中不同的行和不同的列,所以有下述

引理 行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的一项,而且符号也一致.

定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式中任意取定了()个行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.

例3 利用拉普拉斯定理计算行列式

从这个例子来看,利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.

二、行列式的乘积法则

定理7 两个级行列式

的乘积等于一个级行列式

,

其中的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和:

.

这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二章 行列式(小结)

一、行列式理论

1. 级排列

(1) 基本概念:排列,反序,反序数,排列的奇偶性

(2) 主要结论

级排列共有个,其中奇偶排列各占一半

对换改变排列的奇偶性

任意一个级排列都可以经过一些对换变成自然顺序,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性

2. 级行列式的概念

其中

3. 行列式的性质

(1) 有关行列式的转置

行列互换,行列式不变

(2) 有关行(列)的变换

互换行(列),行列式反号

用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行列式

把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变

(3) 有关按行(列)分解为两个行列式的和

如果某行(列)是两组数的和,那么行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)分别是第一组数与第二组数,而其它各行(列)都与原行列式相同

(4) 有关行列式等于零

两行(列)成比例,行列式等于零

4. 行列式依行依列展开

(1) 基本概念:子式,余子式,代数余子式

(2) 主要公式

5. 克拉默规则

若线性方程组

的行列式 ,则它有唯一解

其中是把的第列换成常数项 所得的行列式

二、行列式计算方法

1. 定义法 本章主要内容的内在联系:

2. 化为三角形行列式的方法

3. 化为范得蒙行列式的方法

4. 拆行(列)法

5. 降级法

6. 加边法

7. 数学归纳法

8. 递推法

9. 因式分解法

 

 

 

 

二、行列式计算方法

  1. 定义法

2. 化为三角形行列式的方法

3. 化为范得蒙行列式的方法

4. 拆行(列)法

5. 降级法

6. 加边法

7. 数学归纳法

8. 递推法

9. 因式分解法

 

重点 行列式的计算

难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质

3. 化为范得蒙行列式的方法

例1 计算行列式

解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

=

易知等于 的系数的相反数,而 的系数为 ,因此,

.

4. 拆行(列)法

例2 计算行列式

.

解:

.

5. 降级法

例3 计算行列式

.

解:易得 .

6. 加边法

例4 计算行列式

.

解:

而当时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果.

7. 数学归纳法

例5 计算行列式

.

,

于是猜想 .

证明:对级数用第二数学归纳法证明.

时,结论成立.假设对级数小于时,结论成立.将级行列式按第行展开,有

.

8. 递推法:利用已给行列式的特点,建立起同类型的级行列式和级或更低级行列式之间的关系式,称为递推公式.

例6 计算行列式

.

解:将行列式按第列展开,有

,

同理得

,

例7 计算

同理

联立解得

时,

9. 因式分解法

如果行列式是某个变数的多项式,可对行列式施行某些变换,求出的互不相同的一次因式,设这些一次因式的乘积为,则,再比较的某一项的系数,求出值.

例8 计算行列式

.

:注意时,所以,.

同理均为的因式

各不相同

所以

的展开式中最高次项的系数为1,

所以

:此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.

 

 

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