第四章 随机变量的数字特征1

第四章 随机变量的数字特征

 

讨论随机变量数字特征的原因

1. 在实际问题中，有的随机变量的概率分布

难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。

（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。

（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松

分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。

 

§4.1 数学期望

一、数学期望的概念

1.离散性随机变量的数学期望

 

 

 

 

 

例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：

年龄	17	18	19	20	21	22
人数	2	7	10	8	4	1

求该班同学的平均年龄。

解：

平均年龄=

把上式改写为：

设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为

X	17	18	19	20	21	22
P	2/32	7/32	10/32	8/32	4/32	1/32

 

 

 

定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为：

	x1	x2	x3	….	xk	….
	p1	p2	p3	….	Pk	….

 

若绝对收敛（即），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即

若 发散，则称X的数学期望不存在。

说明：

（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均；

1. 要注意数学期望存在的条件：绝对

收敛；

1. 当X服从某一分布时，也称某分布的数学

期望为EX 。

 

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX

EX=p

 

例4．3：设X~B(n,p)，求EX

EX=np

 

例4．4：设X服从参数为l的泊松分布，求EX

EX=

 

2.连续型随机变量的数学期望

 

定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分绝对收敛，（即），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即

若，则称X的数学期望不存在。

 

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。

EX=

例4.6:设X服从参数为l的指数分布，求EX

EX=

 

例4.7:，求EX

EX=

 

下面分析书上P101---P104例。

1. P101

 

1. P101

 

1. P102---103

解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

 

例4 P103

 

 

3.随机变量函数得数学期望

定理4.1:设随机变量X的函数为Y =g(X)，

1. 若离散型随机变量X的分布律为

,k =1,2,… ，绝对收敛，则Y的数学期望存在，且

1. 若连续型随机变量X的概率密度为

f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，绝对收敛，则Y的数学期望存在，且

 

定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y)

1. 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律

为

 

且有绝对收敛，则Z的数学期望存在，且

1. 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密

度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且绝对收敛，则Z的数学期望存在，且

 

例5 P106

 

例6 P107

 

例7 P107

 

以下为第一版例。

例4.8:设X~U[0,p]，Y=,求E(Y )。

例4.9:设（X,Y）的联合分布律为

其中

求E(XY)。

 

二.数学期望的性质

性质1:若c为常数，则

E(c)=c。

性质2:若c为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:cX的数学期望存在，且E(cX)=cE(X)

 

性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y的数学期望都存在，则X+Y的数学期望存在，且

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

 

推论:若n维随机变量（X₁,X₂,...,)的分量X₁,X₂,...,的数学期望都存在，则X₁ + X₂ +...+的数学期望存在，且

 

性质4:若随机变量X,Y相互独立，它们的数学期望都存在，则X·Y的数学期望存在，且

 

推论:若随机变量X₁,X₂,....,X_n相互独立，它们的数学期望都存在，则X₁X₂…X_n的数学期望存在,且

 

性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)³0。

    

若对任何，存在，则

    。

特别地，若为常数，存在，则。

 

例8 P109

 

例9 P110

 

第一版例

 

例4.14：设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n（假定n≤N-M）件，记这n件中所含次品数为X，求E（X）。

 

三.综合性的例题（第一版）

例:设X的概率密度为

，

其中a,b为常数，且E（X）=。求a,b的值。

注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。

 

例: 射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0分，仅中一发得15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。若某射手的命中率为0.6，求他得分的数学期望。

 

 

例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1000,2000]。购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。