第八讲 矩阵函数的求法
一、利用Jordan标准形求矩阵函数。
对于矩阵的多项式，我们曾导出
，
：多项式
实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。
1. 定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J
，
有非奇异矩阵P使得：
对于函数f(z)，若下列函数
均有意义，则称矩阵函数f(A)有意义，且
2. 矩阵函数的求法（步骤）：
求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，
对于J的各Jordan块
求出
，即计算出
并按照顺序构成
，
合成
矩阵乘积给出
需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。
例1 （教材P176例3-8）. 
,求
[解] 1
求出J及P
2
求出
并构成
：
f(1)=1,
3
合成
4
求
，
说明：
（1）
，
可见这样的
确与
构成反函数；
（2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以
为例，以我们这里的定义，
，但
亦满足
，即B也可以看作某种
二、利用零化多项式求解矩阵函数.
利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J
和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。
定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子
。（可参见张远达《线性代数原理》P215）
设n阶方阵A的不变因子反向依次为
，由它们给出的初等因子分别为
；
；
由于
，故
1
必定出现在
中；
2
若
则
根据上述定理，A的最小多项式
A的最小多项式为其零化多项式，
即 
令
，则可见
可以由
线性表示，从而
亦可由
线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由
线性表示。
因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式
，根据以上论述，适当选择系数
，就可以使f(A)=g(A).
又，假设J,P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：
则
，
f(J)=g(J)
由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于
的线性方程组。且方程的个数为
等于未知数个数，正好可以确定
由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。
1
求出最小多项式
；
（或者特征多项式
）
2
形式上写出待定多项式
（或者
）
3
求解关于
的线性方程组
（或者
）
4
求出g(A)，即可得f(A)=g(A).
从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。
例2. 采用新方法计算
的函数 
。（
）
[解] 1
；
2
3
方程组为
4
，
与Jordan标准形方法完全一致。
作业： P163 6
