五. 图像空间域锐化算法

五. 图像空间域锐化算法

目的：增强图像的边缘或者轮廓。

数学意义：通过微分使得图像边缘更加突出、清晰。因为图像边缘灰度变化率更高，显然微分后得到的值相较于其它部分更大。

5.1 梯度

数学定义：

对于图像\(f(x,y)\)，在点\((x,y)\)处的梯度定义为：

\[\nabla f=grad(f)= \begin{bmatrix} g_x \\ g_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{bmatrix} \tag{1} \]

本质上，梯度是一个向量，其大小为：

\[M(x,y)=\sqrt{g_x^2+g_y^2} \tag{2} \]

其方向为：

\[\theta = arctan(\frac{g_x}{g_y}) \tag{3} \]

5.2 梯度算子

差分公式：

在离散图像中适用一阶差分来近似一阶偏导数，公式如下：

\[g_x=f(x+1,y)-f(x,y) \\ g_y=f(x,y+1)-f(x,y) \tag{4} \]

模板：

模板使用方法：分别使用相对位置的数字乘上对应位置的灰度值，然后相加。

\(g_x\):

\[\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\(g_y\):

\[\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} \]

简化计算：

为了简化计算流程，尝试用以下两种公式代替数学上定义的向量计算公式：

• \[grad(f)=Max(|g_x|,|g_y|) \tag{5} \]

• \[grad(f)=|g_x|+|g_y| \tag{6} \]

5.3 Roberts算子

差分公式：

\[g_x=f(x+1,y+1)-f(x,y) \\ g_y=f(x+1,y)-f(x,y+1) \tag{7} \]

对应模板：

模板使用方法：分别使用相对位置的数字乘上对应位置的灰度值，然后相加。

\(g_x\):

\[\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\(g_y\):

\[\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

5.4 Prewitt算子

差分公式：

\[g_x=𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 − 1) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦)+ 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 + 1) \\ g_y=𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥 − 1, 𝑦 − 1) + 𝑓(𝑥, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥, 𝑦 − 1)+ 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 + 1) − 𝑓(𝑥 + 1, 𝑦 − 1) \tag{8} \]

对应模板：

\(g_x\):

\[\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

\(g_y\):

\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

5.5 Sobel算子

对应模板：

\(g_x\):

\[\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]

\(g_y\):

\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

5.6 不同梯度输出图像

不同梯度：

1. \(g(x,y)=grad(f)\)：

   增强的图像仅显示灰度变化比较陡的边缘轮廓，而灰度变化比较平缓或均匀的区域则呈黑色。

2. \(g(x,y)=\begin{cases}grad(f),grad(f)\geq T \\ f(x,y),其它\end{cases}\)：

   适当选取T，可以使得明显的边缘轮廓得到突出，又不会破坏原来灰度变化比较平缓的背景。

3. \(g(x,y)=\begin{cases}L_G,grad(f)\geq T \\ f(x,y),其它\end{cases}\)：

   \(L_G\)是一个固定值，将明显的边缘使用一个固定的灰度值来表示。

4. \(g(x,y)=\begin{cases}grad(f),grad(f)\geq T \\ L_B,其它\end{cases}\):

   \(L_B\)是一个固定值，将图像较为平滑的部分（也就是锐化后的背景）使用一个固定的灰度值来表示。便于研究边缘灰度值的变化。

5. \(g(x,y)=\begin{cases}L_G,grad(f)\geq T \\ L_B,其它\end{cases}\)：

   \(L_G、L_B\)均为固定值，可以生成二值图像，便于研究边缘所在位置。

输出图像案例：

5.7 Laplacian增强算子

原理：使用二阶偏导数，可以更加精确的过滤背景，仅求出边缘部分。

作用：通过求出的边缘图像与原始图像叠加，能够得到对图像边缘进行增强的锐化图像。

二阶差分公式：

\[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y) \\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^y}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y) \tag{9} \]

算子公式：

\[\nabla^2 f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) \tag{10} \]

算子的四种常用模板表达：

• \[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

• \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -8 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

• \[\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• \[\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \]

锐化公式：

\[g(x,y)=f(x,y)-\alpha \nabla^2f(x,y) \tag{11} \]

其中：\(\alpha\)视我们采用的算子模板来决定：

• 使用前两个算子模板：\(alpha=1\)
• 使用后两个算子模板：\(alpha=-1\)

最终的Laplacian锐化模板：

• 四邻域Laplacian锐化模板：

  \[\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• 八邻域Laplacian锐化模板：

  \[\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 9 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \]

实际操作步骤：

1. 选定Laplacian算子模板。
2. 根据选定的Laplacian算子模板，选择相应的\(\alpha\)，构造Laplacian锐化模板。
3. 遍历图像，对所有像素求二阶差分。
   1. 边界图像不求直接归0，或填充后再求。
   2. 二阶差分小于0的注意归0。
4. 得到了加重边缘的图像，将其与原始图像相加，得到锐化图像。（注意越界的像素灰度设为上限值，一般是255）

Laplacian锐化案例：