《算法导论（原书第3版）》第3章部分题目解答

第3章 函数的增长

3.1 渐进记号

3.1-1

\(\because\)f(n)与g(n)为渐进非负函数
\(\therefore \exists n_0\)，当n>\(n_0\)时，
\(0\leq f(n)\leq max(f(n),g(n)), 0\leq g(n)\leq max(f(n),g(n))\)
两式相加，得\(0\leq (f(n)+g(n))/2\leq max(f(n),g(n))\)
而\(max(f(n),g(n))\leq f(n)+g(n))\)
\(\therefore 0\leq (f(n)+g(n))/2\leq max(f(n),g(n))\leq f(n)+g(n)\)
根据定义有 max(f(n),g(n)) = \(\Theta (f(n)+g(n))\)

3.1-5

根据定义，要使得f(n) = \(\Theta (g(n))\)
需要\(\exists c_1,c_2,n_0\)使得对于所有 \(n\geq n_0\)，有\(0\leq c_1g(n)\leq f(n) \leq c_2g(n)\)
要使得\(f(n) = O(g(n)), f(n) = \Omega(g(n))\)，分别有
\(\exists c3,n_1\)使得对于所有\(n\geq n_1\)，有 \(f(n)\leq c_3f(n)\)
\(\exists c4,n_2\)使得对于所有\(n\geq n_2\)，有 \(f(n)\leq c_4f(n)\)

充分性：

若\(f(n) = O(g(n)), f(n) = \Omega(g(n))\)同时满足
当\(n\geq max(n_1,n_2)\)时，有\(0\leq c_4g(n)\leq f(n) \leq c_3g(n)\)
根据定义，有f(n) = \(\Theta (g(n))\)

必要性：

若$f(n) = \(\Theta (g(n))\)
当\(n\geq n_0\)时，有 \(0\leq c_1g(n)\leq f(n)\leq c_2g(n)\)
即\(0\leq c_1g(n)\leq f(n), f(n)\leq c_2g(n)\)
根据定义，有f(n) = O(g(n)) 且 f(n) = \(\Omega (g(n))\)

3-1

d.

\(lim_{n->\infty }\frac{p(n)}{n^k} = lim_{n->\infty }\frac{\sum^d_{i=0}a_in^i}{n^k} = lim_{n->\infty }\frac{d!a_d}{n^k} = 0\)
\(\therefore \exists n_0,\) 当\(n>n_0\)时，对于任意c>0，有\(cn^k>\sum ^d_{i=0}a_in^i\)
根据定义，有\(p(n) = o(n^k)\)

3-2

序号	A	B	O	o	\(\Omega\)	\(\omega\)	\(\Theta\)
a.	\(lg^kn\)	\(n^\varepsilon\)	x	x	o	o	x
b.	\(n^k\)	\(c^n\)	x	x	o	o	x
c.	\(\sqrt{n}\)	\(c^n\)	x	x	x	x	x
d.	\(2^n\)	\(2^{n/2}\)	o	o	x	x	x
e.	\(n^{lgc}\)	\(c^{lgn}\)	o	x	o	x	o
f.	lg(n!)	\(lg(n^n)\)	o	x	o	x	o
a,b,c,d显然

e:

\(lim_{n->\infty}\frac{ n^{lgc} }{ c^{lgn} }\)
=\(lim_{n->\infty}\frac{n^{log_nc/log_n10}}{c^{lgn}}\)
=\(lim_{n->\infty}\frac{n^{1/log_n10}}{c^{lgn}}\)
= 1
所以 \(n^{lgc} = \Theta(c^{lgn})\)

f:

斯特林近似公式（3.18）：
\(n! = \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n(1+\Theta(\frac{1}{n}))\)
\(lim_{n->\infty}\frac{lg(n!)}{lg(n^n)}\)
= \(lim_{n->\infty}(lg( \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n)) / nlgn\)
= \(lim_{n->\infty}(\frac{1}{2}lgn + nlgn)/nlgn\)
= 3/2
所以 \(lg(n!)=lg(n^n)\)

思考题

3-4

a.

False.\(f(n) = n, g(n) = n^2\)

b.

False.\(f(n) = n, g(n) = n^2\)

c.

True.
因为\(f(n) = O(g(n))\)
所以\(\exists n_0, c>0\)，当\(n>n_0\)时，有\(0\leq f(n)\leq cg(n)\)
因为\(\exists n_1\)，当\(n>n_1\)时，有\(lg(g(n))\geq 1\)
且 \(f(n)\geq 1\)
所以当\(n>max(n_0,n_1)\)时
\(0<1\leq lg(f(n))\leq lgc+lg(g(n))\)
不妨取\(c>10\)，则
\(0\leq lg(f(n))\leq lgc+lg(g(n))\leq lgc+lgclg(g(n))=(lgc+1)lg(g(n))\)
所以对于\(n>max(n_0,n_1)\)，存在常数\(c_1\)，使得\(0\leq lg(f(n))\leq c_1lg(g(n))\)
根据定义，有lg(f(n)) = O(lg(g(n)))，得证

d.

False. \(f(n) = 2n, g(n) = n\)

e.

False. \(f(n)=\frac{1}{n}\)

f.

True.
因为\(f(n) = O(g(n))\)
\(\exists n_0,c>0\)，使得当\(n>n_0\)，有\(0\leq f(n)\leq cg(n)\)
即\(0\leq \frac{1}{c}f(n)\leq g(n)\)
即\(\exists n_0\)，使得当\(n>n_0\)，有\(0\leq c_1f(n)\leq g(n) (c_1 = \frac{1}{c}\)
根据定义，有\(g(n) = \Omega(f(n))\)

g.

False. \(f(n) = 2^n\)

h.

True.
\(\exists n_0\)，使得当\(n>n_0\)，有
\(0\leq o(f(n))<f(n)\)
又\(\frac{1}{2}\leq f(n)\leq 2f(n)\)
所以\(\frac{1}{2}f(n)\leq f(n)+o(f(n))\leq 2f(n)\)
根据定义，有\(f(n)+o(f(n))=\Theta(f(n))\)