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数据结构与算法-1 拓扑排序 Kahn DFS 有向无环图 [MD]

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高级篇介绍

从今天开始，我们就进入了专栏的高级篇。

相对基础篇，高级篇涉及的知识点都比较零散，不是太系统。所以，我会围绕一个实际软件开发的问题，在阐述具体解决方法的过程中，将涉及的知识点给你详细讲解出来。

相较于基础篇开篇问题 - 知识讲解 - 回答开篇 - 总结 - 课后思考这样的文章结构，高级篇大致分为这样几个部分：问题阐述 - 算法解析 - 总结引申 - 课后思考。

43 | 拓扑排序

百度百科：简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

拓扑排序其实就是基于有向无环图，遍历所有的结点，每两个结点之间有先后关系。并且在搜索下一个结点的时候，这个结点之前的结点已经全部被搜索过。

拓扑排序应用非常广泛，解决的问题的模型也非常一致，凡是需要 通过局部顺序来推导全局顺序 的，一般都能用拓扑排序来解决。

如何确定代码源文件的编译顺序

一个完整的项目往往会包含很多代码源文件，编译器在编译整个项目的时候，需要按照依赖关系，依次编译每个源文件。比如，A.cpp 依赖 B.cpp，那在编译的时候，编译器需要先编译 B.cpp，才能编译 A.cpp。

那编译器又该如何通过源文件两两之间的局部依赖关系，确定一个全局的编译顺序呢？

算法解析

有向无环图 DAG，Directed Acyclic Grap

算法是构建在具体的数据结构之上的，针对这个问题，我们可以把源文件与源文件之间的依赖关系，抽象成一个有向图。每个源文件对应图中的一个顶点，源文件之间的依赖关系就是顶点之间的边。

如果 a 先于 b 执行，也就是说 b 依赖于 a，那么就在顶点 a 和顶点 b 之间，构建一条从 a 指向 b 的边。而且，这个图不仅要是有向图，还要是一个有向无环图，也就是不能存在像 a->b->c->a 这样的循环依赖关系。因为图中一旦出现环，拓扑排序就无法工作了。实际上，拓扑排序本身就是基于有向无环图的一个算法。

public class Graph {
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer>[] adj; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>(); //初始化邻接表
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) {
    adj[s].add(t); // s 先于 t，添加边 s->t
  }
}

拓扑排序有两种实现方法，它们分别是 Kahn 算法和 DFS 深度优先搜索算法。

注意，这里的图可能不是连通的，有可能是有好几个不连通的子图构成。

Kahn 算法

Kahn 卡恩（姓氏）

Kahn 算法实际上用的是贪心算法思想，思路非常简单、好懂。

定义数据结构的时候，如果 s 需要先于 t 执行，那就添加一条 s 指向 t 的边。所以，如果某个顶点入度为 0，也就表示，没有任何顶点必须先于这个顶点执行，那么这个顶点就可以执行了。

  • 先从图中找出一个入度为 0 的顶点
    • 将其输出到拓扑排序的结果序列中
    • 把这个顶点从图中删除，同时把这个顶点可达的顶点的入度都减 1
  • 循环执行上面的过程
  • 直到所有的顶点都被输出，最后输出的序列就是满足局部依赖关系的拓扑排序

这段代码实现更有技巧一些，并没有真正删除顶点的操作

 // v 代表顶点的个数，adj[] 代表邻接表
public void topoSortByKahn() {
  int[] inDegree = new int[v]; // 记录每个顶点的入度
  for (int i = 0; i < v; ++i) { //遍历每个顶点
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) { //遍历顶点的所有边
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inDegree[w]++;
    }
  }

  LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>(); //队列：先进先出
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    if (inDegree[i] == 0) queue.add(i); //存储入度为 0 的顶点(可以有多个)
  }
  while (!queue.isEmpty()) {
    int i = queue.remove(); //移除入度为 0 的顶点
    System.out.print("->" + i);
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int k = adj[i].get(j);
      inDegree[k]--; //移除后，此顶点指向的顶点的入度 -1
      if (inDegree[k] == 0) queue.add(k); //持续存储入度为 0 的顶点
    }
  }
}

DFS 算法

实际上，拓扑排序也可以用深度优先搜索来实现。

public void topoSortByDFS() {
  // 先构建逆邻接表(存储他依赖的顶点)，边 s->t 表示，s 依赖于 t，t 先于 s
  LinkedList<Integer>[] inverseAdj = new LinkedList[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    inverseAdj[i] = new LinkedList<>(); //初始化
  }

  // 通过邻接表生成逆邻接表
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // 存在 i->w
      inverseAdj[w].add(i); // 添加 w->i
    }
  }
  boolean[] visited = new boolean[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 深度优先遍历图
    if (visited[i] == false) {
      visited[i] = true;
      dfs(i, inverseAdj, visited);
    }
  }
}

private void dfs(int vertex, LinkedList<Integer> inverseAdj[], boolean[] visited) {
  for (int i = 0; i < inverseAdj[vertex].size(); ++i) {
    int w = inverseAdj[vertex].get(i); //找出他依赖的顶点
    if (visited[w] == true) continue; //如果依赖的顶点已经访问过，不需要重复访问
    visited[w] = true;
    dfs(w, inverseAdj, visited); //算法的核心：递归处理每个顶点
  }
  System.out.print("->" + vertex); //先输出它依赖的所有的顶点，再输出自己
}
  • 邻接表中，边 s->t 表示 s 先于 t 执行，也就是 t 要依赖 s
  • 在逆邻接表中，边 s->t 表示 s 依赖于 t，s 后于 t 执行

时间复杂度分析

假设 V 表示顶点个数，E 表示边的个数

  • 从 Kahn 代码中可以看出来，每个顶点被访问了一次，每个边也都被访问了一次，所以，Kahn 算法的时间复杂度就是 O(V+E)
  • DFS 算法中，每个顶点被访问两次，每条边都被访问一次，所以时间复杂度也是 O(V+E)

因为这里的图可能不是连通的，有可能是有好几个不连通的子图构成，所以，E 并不一定大于 V，两者的大小关系不确定。所以，在表示时间复杂度的时候，V、E 都要考虑在内。

如何检测有向图中是否存在环

拓扑排序还能 检测图中环的存在。对于 Kahn 算法来说，如果最后输出出来的顶点个数，少于图中顶点个数，(也即图中还有入度不是 0 的顶点)，那就说明，图中存在环。

关于图中环的检测，我们在递归那一节讲过一个例子，在查找最终推荐人的时候，可能会因为脏数据，造成存在循环推荐，如何避免这种脏数据导致的无限递归？

实际上，这就是环的检测问题。

如果我们每次都只是查找一个用户的最终推荐人，那么我们并不需要动用复杂的拓扑排序算法，而只需要记录已经访问过的用户 ID，当用户 ID 第二次被访问的时候，就说明存在环，也就说明存在脏数据。

HashSet<Integer> hashTable = new HashSet<>(); // 保存已经访问过的 actorId
public long findRootReferrerId(long actorId) {
  if (hashTable.contains(actorId)) { // 存在环
    return -1;
  }
  hashTable.add(actorId);
  Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId); //递归遍历
}

如果我们想要知道，数据库中的所有用户之间的推荐关系中，有没有存在环的情况。这个问题，就需要用到拓扑排序算法了。我们把用户之间的推荐关系，从数据库中加载到内存中，然后构建成今天讲的这种有向图数据结构，再利用拓扑排序，就可以快速检测出是否存在环了。

2017-10-20

posted @ 2017-10-20 17:18  白乾涛  阅读(4946)  评论(0)  编辑  收藏  举报