浅谈扩展欧几里得算法

一.算法简析

  扩展欧几里得算法(又称exgcd),是来求解形如下面格式方程的解。

            ax + by = c

  其中abc已经给出,xy为待求解的变量。

  扩欧算法规定,当 c%gcd(a,b)!=0的时候,上面方程不存在整数解。

  这个结论可以由贝祖定理推出:

  即如果a、b是整数,那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)

  当上面的方程有解时,我们可以一定得到一组特解。下面我们就要推导下求特解的过程。

二.算法推导

  首先,我们知道gcd(a,b) = gcd(b,a%b),再由上面的式子,我们可以推导得到

                ax1+by1 = gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = bx2 +(a%b)y2  

  而a%b又等于a - a/b*b(此处除法为向下取整)

  根据等式两边对应项对应相等的原则,我们可以得到以下关系

                         x1 = y2

                            y1 = x2 - a/b*b*y2

  通过比较辗转相除法,考虑递归解决问题,应用上面的式子,我们可以发现连接递归上下层的是gcd(a,b) = gcd(b,a%b),因此,递归的终止条件是b==0,此时将x=1,y = 0。

  然后根据上面x1y1x2y2的关系,就可以不断递归推导出原方程的解。详细细节可以看代码。

三.代码实现

typedef long long ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x1,ll& y1)
{
    if(b==0)
    {
        x1 = 1;
        y1 = 0;
        return ;
    }
    ll x2,y2;
    exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1 = y2;
    y1 = (x2-a/b*y2);
    return ;
}

四.相关例题

 

posted @ 2020-01-28 18:54  浅花迷人  阅读(36)  评论(0编辑  收藏