抽象代数-学习笔记

主要积累一些遇到的例子、题目。不定时更新。

运算

  1. 有结合律的运算：普通/复数/矩阵/模意义下加法、乘法，映射复合，与或异或/集合相关，
    min/max。
  2. 仅仅满足部分群公理：\(\mathbb{N}^*, \mathbb{N}\)。\(\{0,1,2\}\) 上可构造有单位元、有逆元但无结合律的运算。
  3. 域的性质仅仅不满足分配律：\(\{0,1,2,3\}\) 上可构造。

域

  1. 域的例子：\(\mathbb{Q,R,C}\) 配备普通加法、乘法；\(\mathbb{F}_p\) 配备模 \(p\) 意义下的加法、乘法。
  2. \(\mathbb{F}_p\) 上的线性空间：\(V=(\mathbb{F}_p)^{n+1}\)。射影空间：\(\mathbf{P}(V)\)。有 \(\mid\mathbf{P}(V)\mid=\dfrac{p^{n+1}-1}{p-1}\)。Fano 平面：\(\mathbf{P}^2(\mathbb{F}_2)=\mathbf{P}((\mathbb{F}_2)^3)\)。
  3. 尺规作图的域。
  4. 非交换的域（除环）：Hamilton 四元数除环。
  5. 大小为 \(4\) 的域：可构造：
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 1
3 0 3 1 2
  1. 线性空间例子：\(\mathbb{K}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}_+,\alpha+_{_V}\beta=\alpha\beta,x\cdot\alpha=\alpha^x\)
  2. 线性空间与线性子空间：多项式空间 \(\mathbb{P}\) 与 \(\mathbb{P}_3\)，\([0,1]\) 上所有实值函数的线性空间与所有其上连续函数的线性空间，无穷数列的空间与无穹收敛数列的空间。

群

  1. \(\mathbb{Q,R,C,Z}\) 配备自然加法是交换群。
  2. \((\mathbb{Z}\big/{n\mathbb{Z}},+)\) 是循环群，\(\bar{k}\) 是生成元当且仅当 \(\gcd(k,n)=1\)。
  3. \(K\) 是域，\(G=\mathbf{GL}(n;K)\) 是 \(K\) 上 \(n\times n\) 可逆矩阵的集合。配备矩阵乘法，以单位矩阵为单位元，\(\mathbf{GL}(n;K)\) 是群（一般线性群）。
  4. \(X\) 是集合，\(\mathfrak{S}(X)\) 是 \(X\) 到自身双射的集合，是群。群中乘法为映射复合，单位元即单位映射，逆即逆映射。
  5. 二面体群 \(\mathfrak{D}_n\)。\(\langle r\rangle(n\geq 3)\) 是正规子群，\(\langle s\rangle\) 不是正规子群。
  6. \(\mathbb C^\times\) 是群（配备自然乘法）。\(\mathbb R^+<\mathbb R^\times<\mathbb C^\times\)（子群）。令 \(\mu^n(\mathbb C)\) 为 \(\mathbb C\) 中 \(n\) 次单位根的集合，则 \(\mu^n(\mathbb C)<C^\times\)。
  7. 可逆的 \(n\) 阶上三角矩阵的集合 \(T\) 是 \(\mathbf{GL}(n;K)\) 的子群。对角线上均为 \(1\) 的集合 \(T_1<T<\mathbf{GL}(n;k)\)。
  8. 非负整数配备异或的群：每个元素阶都有限（\(\leq 2\)），但不是有限群。（同构于 \(\oplus_{i=1}^{+\infty}\mathbb F_2\) 配备模 \(2\) 加法）
  9. 群 \(G\) 的中心 \(Z(G)\) 是群。
  10. 正四面体群 \(C_4\)。
  11. 正二十面体群 \(C_{20}\)。
  12. 假设 \(G_1\) 和 \(G_2\) 都为 \(\mathbb C^\times\)，对任意的 \(\lambda\in\mathbb C^\times\)，映射 \(z\mapsto\lambda\cdot z\) 均为 \(G_1\) 到 \(G_2\) 的群同构。
  13. 自同构群 \(\mathbf{Aut}(G)<\mathfrak{S}_G\)。
  14. 给定群同态 \(\varphi\in\operatorname{Hom}(G_1,G_2)\)，则 \(\operatorname{Im}(\varphi)<G_2\)，\(\operatorname{Ker}(\varphi)\lhd G_1\)。
  15. \(K\) 是域，\(n\geq 1\) 行列式映射$$\det:\mathbf{GL}(n;K)\rightarrow K^\times$$是群同态。令 \(\mathbf{SL}(n;K)=\operatorname{Ker}(\det)\)，这是行列式为 \(1\) 的 \(n\times n\) 的矩阵构成的群，被称为 \(K\) 上的特殊线性群。
  16. 指数映射 \(\exp:\mathbb C\rightarrow\mathbb C^\times\) 是群同态，\(\operatorname{Ker}(\exp)=2\pi i\mathbb Z\)。
  17. 对数映射 \(\log:\mathbb R^\times\rightarrow\mathbb R\) 是群同态，\(\operatorname{Ker}(\log)=\{1\}\)。
  18. \(\mod n\) 映射。群同态 \(\varphi:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z\big/{n\mathbb Z},\ k\mapsto\bar k\)。它的核 \(\operatorname{Ker}(\varphi)=n\mathbb Z\)。
  19. \(G\) 是群，\(g\in G\)，则映射 $$\varphi_g:\mathbb Z\rightarrow G,\ n\mapsto g^n$$ 是群同态，其像 \(\operatorname{Im}(\varphi_g)=\langle g\rangle\)。
  20. \(G\) 是群，对任意 \(g\in G\)，定义共轭映射 $$\operatorname{Int}(g):G\rightarrow G,\ h\mapsto\operatorname{Int}(g)(h)=ghg^{-1}$$ 有 \(\operatorname{Int}(G):=\operatorname{Im}(\operatorname{Int})<\operatorname{Aut}(G)\)。
    定义映射 \(\operatorname{Int}:G\rightarrow\operatorname{Aut}(G),\ g\mapsto\operatorname{Int}(g)\)，则 \(\operatorname{Int}\) 是群同态，\(\operatorname{Ker}(\operatorname{Int})=Z(G)\)。
  21. 若 \(A\in \mathbf{GL}(n;K)\) 固定，则映射 \(\varphi:\mathbf{GL}(n;K)\rightarrow\mathbf{GL}(n;K),\ g\mapsto AgA^{-1}\) 是群同构。
  22. \((\mathbb Z,+)\) 的所有子群：若 \(H<Z\)，则 \(H=n_0\mathbb Z, n_0\in\mathbb N\)。
  23. 由 Lagrange 定理可证 Fermat 小定理。
  24. 交换群的子群都是正规子群。
  25. 若 \(H\lhd G\)，则 \(\pi:G\rightarrow G\big/H,\ g\mapsto gH\) 是群同态，\(\operatorname{Ker}(\pi)=H\)。
  26. 群的乘积是群，且满足泛性质。
  27. 有限域的乘法子群是循环群。
  28. \((\mathbb{Z}\big/{n\mathbb{Z}})^\times\) 是循环群当且仅当 \(n=1,2,4,p^m,2p^m\)。其中 \(p\) 为奇素数，\(m/geq 0\)。
posted @ 2025-09-18 15:57  baiABC  阅读(23)  评论(0)    收藏  举报