Stirling数笔记
Updating....
这几个玩意儿要记的东西太多太乱所以写blog整理一下
虽然蒯的成分会比较多全部
我居然开始记得写blog了??
第一类
这里讨论的是无符号类型的。
OEIS编号A130534
表示方法
\(s(n,m)\)或者\(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\)
注意前者是小写s
意义
\(n\)个元素的项目分作\(m\)个非空环排列的方法数目
求法
递归求解法
这个就是说新建一个环排列或者插入已有的环排列
可怕 这很\(O(n^2)\)
各种性质
\(\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!\)
\(\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}=(n-1)!\times\sum_{i=1}^{n-1}\frac 1 i\)
\(\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=n!\)
\(\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=\binom{n}{2}\)
这里就不给出证明了
别的地方都有
也挺好记好想的
maybe
第二类
OEIS编号A008277
表示方法
\(S(n,m)\)或者\(\left\{\begin{matrix}n \\ m\end{matrix}\right\}\)
当然这里是大写S
意义
\(n\)个元素的集定义\(m\)个等价类的方法数目
。。。wiki害人
就是从环排列变成集合划分了
当然也要保证非空
求法
递归求解法
同样也可以解释,新建or插入已有的
再次\(O(n^2)\)??别啊
幸好这玩意儿能搞容斥,通项就有了
\(O(n)\)求解不是梦
好吧只求一个用这个会快
最重要的是这个能卷,也好搞些别的???
稍微整理一下
就很舒服
Stirling 反演
两个柿子挺好记
但我暂时还搞不清具体是干嘛的。。。
Bell数
OEIS编号A000110
就是把第二类stirling数的集合划分个数限制去掉了
只限制了基数
也就是
当然也可以直接\(O(n)\)递推
参考
%%%
https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/9242645.html
https://www.cnblogs.com/ezoiLZH/p/9424911.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html
https://blog.csdn.net/winycg/article/details/70233717