Stirling数笔记

Updating....
这几个玩意儿要记的东西太多太乱所以写blog整理一下
虽然蒯的成分会比较多全部
我居然开始记得写blog了？？

第一类

这里讨论的是无符号类型的。
OEIS编号A130534

表示方法

\(s(n,m)\)或者\(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\)
注意前者是小写s

意义

\(n\)个元素的项目分作\(m\)个非空环排列的方法数目

求法

递归求解法

\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix} \]

这个就是说新建一个环排列或者插入已有的环排列
可怕 这很\(O(n^2)\)

各种性质

\(\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!\)
\(\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}=(n-1)!\times\sum_{i=1}^{n-1}\frac 1 i\)
\(\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=n!\)
\(\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=\binom{n}{2}\)
这里就不给出证明了
别的地方都有
也挺好记好想的
maybe

第二类

OEIS编号A008277

表示方法

\(S(n,m)\)或者\(\left\{\begin{matrix}n \\ m\end{matrix}\right\}\)
当然这里是大写S

意义

\(n\)个元素的集定义\(m\)个等价类的方法数目
。。。wiki害人
就是从环排列变成集合划分了
当然也要保证非空

求法

递归求解法

\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix} \]

同样也可以解释，新建or插入已有的
再次\(O(n^2)\)？？别啊
幸好这玩意儿能搞容斥，通项就有了

\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum\limits_{k=0}^{m}(-1)^k\binom{m}{k}(m-k)^n \]

\(O(n)\)求解不是梦
好吧只求一个用这个会快
最重要的是这个能卷，也好搞些别的？？？
稍微整理一下

\[\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(m-k)^n}{(m-k)!} \]

就很舒服

Stirling 反演

两个柿子挺好记
但我暂时还搞不清具体是干嘛的。。。

\[f(x) = \sum_{i=0}^x \begin{Bmatrix}x\\i\end{Bmatrix} g(i) \Leftrightarrow g(x) = \sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}\begin{bmatrix}x\\i\end{bmatrix} f(i) \]

\[f(x) = \sum_{i=0}^x \begin{bmatrix}x\\i\end{bmatrix} g(i) \Leftrightarrow g(x) = \sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}\begin{Bmatrix}x\\i\end{Bmatrix} f(i) \]

Bell数

OEIS编号A000110
就是把第二类stirling数的集合划分个数限制去掉了
只限制了基数
也就是

\[B_n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \]

当然也可以直接\(O(n)\)递推

\[B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{k} \]

参考

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https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/9242645.html
https://www.cnblogs.com/ezoiLZH/p/9424911.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html
https://blog.csdn.net/winycg/article/details/70233717