不平等博弈的Q & A（科普）

众所周知，平等博弈中，SG函数简直就是神器（我还想写一篇SG函数的科普作为前传）。但是与平等博弈不同的是，不平等博弈中的两个玩家的操作有着不一样的约束，比如左玩家只能拿正面朝上的硬币，右玩家只能拿反面朝上的硬币。因此，超现实数出现了，它就是解决不平等博弈问题的神器

Q：超现实数是什么？

A：超现实数(surreal number)是一个船新的数学概念，名字含义为“超越实数的数”。而事实上超现实数不仅包含了所有实数，还引入了“无穷大”（即“无穷大”是一个超现实数），是一个最大的兼容四则运算的全序集合

Q：啥是全序集合？啥是兼容？还有你讲了这么多，超现实数的定义呢？

A：啊这，不要在意这些细节。你只要知道，超现实数和实数一样，是可以比较大小的（就是定义了“小于号”），也可以加减乘除啥的（严格定义的话我也不是专业的我也做不到）

A：超现实数的定义啊，这太硬核了，这里我只能简单介绍一下。（感兴趣的小伙伴可以网上搜索一下“surreal number”，我就是这么学废的）每个超现实数都有一个左集合和右集合，(我们研究的)超现实数都可以用实数表达

Q：不是说还有“无穷大”等超越实数的存在吗？

A：因为我们探讨的博弈是有限的所以的确不需要无穷大

Q：怎么通过左、右集合计算超现实数的对应实数呢？

A：这是一个重要的操作（并不）。如果 \(L\) 是左集合中的最大值，\(R\) 是右集合中的最小值。如果 \(L,R\) 之间存在整数，那么超现实数 \(G\) 为 \(L,R\) 之间绝对值最小的整数；如果 \(L,R\) 之间没有整数，那么超现实数 \(G\) 是一个整数除以 \(2\) 的整数次幂，这个值要在 \(L,R\) 之间，并且要让 \(2\) 的幂次尽可能小。（即 \(G=\dfrac A {2^B},L<G<R\)，且 \(B\) 尽可能小）特别地，如果左集合为空集，那么 \(L\) 视为负无穷大，右集合为空集则 \(R\) 视为无穷大

• 比如，\(\{-1,0\ |\ 3\}\)，\(L,R\) 之间有 \(1,2\) 两个整数，选绝对值小的那个，\(G=1\)
• 比如，\(\{-1,0\ |\ 1\}\)，\(L,R\) 之间没有整数，那么 \(G=\dfrac 1 2\)，因为这个数分母最小
• 比如，\(\{\dfrac 1 4\ |\ \dfrac 1 2\}\)，那么 \(G=\dfrac 3 8\)
• 特殊情况比如，\(\{\dfrac 1 2\ |\ \}\)，那么 \(G=1\)。最特殊的情况，\(\{\ |\ \}\)，那么 \(G=0\)

Q：那 \(\dfrac 1 3\) 不能用这个方法生成吗？

A：我们研究的超现实数不包含 \(\dfrac 1 3\) 这样的数，\(\dfrac 1 3\) 和“无穷大”一样，需要涉及无穷才能搞出来

Q：说了那么多超现实数，但是它和博弈有什么关系？

A：介绍博弈之前，先看一个博弈问题Blue-Red Hackenbush string

• 若干个字符串，每个字符要么是 L 要么是 R，左玩家只能拿 L，右玩家只能拿 R，每次拿走一个字符后其后缀也会消失，最先不能操作的玩家输

A：假如我们简化一下问题，所有字符串都长这样：LLL...或者RRR...，那么左右玩家各自的策略应该是什么样的？

Q：（OS：反了反了，我才是Q好不）很显然，因为最先不能操作的玩家失败，所以左玩家尽量让 L 串存在的时间久一点，右玩家就尽量让 R 串存在的时间久一点

A：对，因此最终比较的其实就是字符 L 的个数和字符 R 的个数。对于L串，我们认为它的surreal number就是它的长度，对于R串，它的surreal number就是它长度的相反数。对每个串的surreal number求和（超现实数当然能做加法），得到的数就是整个局面的值。如果值大于 0，那么左玩家必胜，小于 0 右玩家必胜，等于 0 就是后手必胜。这个规则也适用于其他的不平等博弈（除了一些存在先手必胜的局面的博弈，这时候就要引入Irregular surreal number，就很复杂了，其实Nim Game就是2333）

Q：但是LR交错的字符串，一看就不简单

A：因此需要引入一个规则：对于一个博弈局面超现实数的左集合，就是左玩家进行一次操作后的所有可能的博弈局面；右集合就是右玩家进行一次操作后的所有可能的博弈局面

• 比如LR，左玩家可以把它变成空串（值为0），右玩家可以把它变成L（值为1），那么LR的值就是 \(\{0\ |\ 1\}\)，就是 \(\dfrac 1 2\)
• 比如LRL，左玩家有两种操作方式即空串和LR（值为 \(0,\dfrac 1 2\)）（为什么 LR 的值是 \(\dfrac 1 2\)？因为这是上一行的结论鸭），右玩家只能把它变成L（值为 \(1\)），那么LRL的值就是 \(\{0,\dfrac 1 2\ |\ 1\}\)，就是 \(\dfrac 3 4\)

A：同样，引入了分数后，博弈局面的值大于 0 左玩家必胜、小于 0 右玩家必胜、等于 0 后手必胜的结论还是使用的。你可以试试看 LR,R（值为 \(-\dfrac 1 2\)），看是不是右玩家必胜，然后试试看 LR,LR,R（值为 \(0\)），看是不是后手必胜

Q：确实，6啊

A：其实超现实数的值，其实可以认为是左玩家比右玩家可以多操作的次数。只不过，这个值会有分数出现，就很神奇

A：刚刚那个问题其实有简化的方法求surreal number。字符串第 \(i\) 位如果是L，记 \(a[i]=1\)，否则记 \(a[i]=-1\)。如果字符串是L开始的，我们把第一个R的位置记作p，那么 \(a[p]\) 乘以 \(2^{-1}\)，加上 \(a[p+1]\) 乘以 \(2^{-2}\)，以此类推，这个数字再加开始一连串L的个数就是surreal number了。如果开头是R那正好相反

• 比如，字符串LLRL，开头2个L，因此surreal number的整数部分为2。小数部分为 \(-2^{-1}+2^{-2}=-\dfrac 1 4\)，因此surreal number为 \(2+(-\dfrac 1 4)=\dfrac {7} 4\)

Q：感觉这个计算方法表明了很多时候都是无视字符串最后的字符，直接删前面的

A：是的，但是由于作者太菜所以我也无法解释其中的精妙之处，甚至连怎么操作都没明白

Q：太强了

A：爬