猫树 简单介绍

猫树是一种类似ST表的数据结构,初始化 \(O(n\log n)\) 查询 \(O(1)\),不允许修改(或者说修改代价非常大)

ST表支持的运算要满足可重复贡献,即 \(x\times x=x\),比如区间RMQ、区间gcd、区间lcm等

前缀和支持的运算要满足存在逆元(意味着存在逆运算),比如区间和、区间模乘等

而猫树则没有两个限制,猫树支持线段树支持的几乎所有查询操作,除去上述操作外还可以支持矩阵乘法、线性基(ST表也可以线性基但是不能判断是否线性相关)等

我们以ST表模板题为例介绍一下猫树
https://www.luogu.com.cn/problem/P3865

我们先假设n是2的整数次幂,如果不是就要在初始化的时候处理一下

猫树的第0层所有 \([i,i]\) 构成了 \(n\) 个区间,第1层所有 \([2i,2i+1]\) 构成了 \(\dfrac n 2\) 区间,第2层所有 \([4i,4i+3]\) 构成了 \(\dfrac n 4\) 个区间,依次类推

假设第 \(s\) 层有一个区间 \([l,r]\),令它的中点 \(m=(l+r)/2\),计算区间 \([l,m]\) 的后缀和,存在 \(cat[s][l...m]\) 中;同样计算区间 \([m+1,r]\) 的前缀和,存在 \(cat[s][(m+1)...r]\)

比如 \(n=8\) 的情况如下

原数组 a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7]
第0层 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
第1层 [ ] [ ] [ ] [ ]
第2层 [ - - ] [ - - ]
第3层 [ - - - - - - ]
原数组 a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7]
第0层 \(a[0]\) \(a[1]\) \(a[2]\) \(a[3]\) \(a[4]\) \(a[5]\) \(a[6]\) \(a[7]\)
第1层 \(a[0]\) \(a[1]\) \(a[2]\) \(a[3]\) \(a[4]\) \(a[5]\) \(a[6]\) \(a[7]\)
第2层 \(a[0]+a[1]\) \(a[1]\) \(a[2]\) \(a[2]+a[3]\) \(a[4]+a[5]\) \(a[5]\) \(a[6]\) \(a[6]+a[7]\)
第3层 \(a[0]+...+a[3]\) \(a[1]+...+a[3]\) \(a[2]+a[3]\) \(a[3]\) \(a[4]\) \(a[4]+a[5]\) \(a[4]+...+a[6]\) \(a[4]+...+a[7]\)

我们发现对任意的查询区间 \([l_q,r_q]\),一定存在猫树上的某个区间 \([l,r]\)\([l,r]\) 包含了 \([l_q,r_q]\) 并且它的中点在 \([l_q,r_q]\)

因此我们只要找到这个区间,然后用后缀和+前缀和来计算答案

因为某种巧合,区间 \([l_q,r_q]\) 对应的猫树区间在第 \(\lfloor\log_2(l_q\)^\(r_q)\rfloor\) 层内

这里有个小操作,可以用 32-__builtin_clz(x) 代替 \(\lfloor\log_2(x)\rfloor\)因为我懒得初始化log数组

猫树的代码量其实还好,也就st表的两三倍

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,_=(a);i>=_;i--)
typedef long long ll; const int inf=~0u>>2; const ll INF=~0ull>>2; ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)==-1)exit(0); return x;}
const int N=200010;
ll in[N];
struct cat{
	#define U(a,b) max(a,b) //查询操作
	#define a0 0 //查询操作的零元
	#define logN 21
	ll a[logN][N]; //内存等于2^k且大于等于两倍inn
	void init(int s,int l,int r){
		int m=(l+r)/2;
		repeat_back(i,l,m)a[s][i]=U(a[s][i+1],in[i]);
		repeat(i,m+2,r+1)a[s][i]=U(a[s][i-1],in[i]);
	}
	void init(int inn){ //建树
		int n; for(n=1;n<inn;n<<=1); repeat(i,inn,n)in[i]=a0;
		for(int len=1,s=0;len<=n;len<<=1,s++){
			repeat(i,0,n)a[s][i]=in[i];
			for(int i=0;i<n;i+=len)
				init(s,i,i+len-1);
		}
	}
	ll query(int l,int r){ //区间查询
		int s=32-__builtin_clz(l^r);
		if(l==r)return a[s][l];
		else return U(a[s][l],a[s][r]);
	}
}tr;
signed main(){
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); //freopen("in.txt","r",stdin);
	int n=read(),m=read();
	repeat(i,0,n)in[i]=read();
	tr.init(n);
	while(m--){
		int x=read()-1,y=read()-1;
		printf("%lld\n",tr.query(x,y));
	}
	return 0;
}
posted @ 2020-03-18 18:36  axiomofchoice  阅读(...)  评论(...编辑  收藏