*【HT-057-MLS】核桃五一马拉松

核桃OJ。

A

\(P(A)=\sum P(A\mid F_i)P(F_i)\)。

B

线段树分治，并查集维护连通块内深度最小的点，2log。

从根往下搜，用主席树维护时间维度可以做到 1log。

C

斜率优化模板题，单调栈维护上凸壳即可。

D

找规律，考察 \(1\) 到 \(k-1\) 的 cnt，每次 \(n\leftarrow n+1\) 都是将开头连续 \(1\) 段的最后一个 \(1\) 往后移一位。因此答案为 \(\lfloor\frac{(n-\frac{k(k-1)}{2}-1)}{k}\rfloor+1\)。

E

对于正整数数列有 \(\sum a_i=\sum[a_i\ge j]\)，因此乱序的 \(m\) 个数开头连续递增的长度期望为 \(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{i!}\)，成功率为 \(\frac{1}{m!}\)，期望成功次数为 \(m!\)，因此比前面某个位置大的位置会对答案产生 \(m!(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{i!}+1)\) 的贡献，前缀最小值的位置会对答案产生 \(1\) 的贡献。容易转化为对所有前缀最小值的位置求和，兔队线段树即可。

F

二分倒着判定，玄学复杂度。

G

\(\frac{1}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},y=\frac{xn}{x-n}\)，取 \(x=n+1\) 即可在 \(n\ge 2\) 时得出解，\(n=1\) 显然无解。

H

期待值显然为 \(a_1-a_n\)，于是只需枚举换到 \(a_1\) 和换到 \(a_n\) 的情况。

I

考虑状压 DP，设 \(f_{S}\) 为 \(S\) 中元素为前 \(\lvert S\rvert\) 个时对答案的最小贡献，预处理出相邻对的个数即可快速转移，时间复杂度 \(O(2^mm^2)\)。

J

当 \(n=m=1\) 时答案为 \(0\)，\(n=1\) 或 \(m=1\) 时答案为 \(1\)，否则答案为 \(1+\min(n,m)\)。

M

考虑 DP，设 \(f_{i,j,k,p}\) 为移动到第 \(i\) 个点，上一次用的是 \(j\)，最后一个与 \(j\) 不同的为 \(k\)，\(k\) 最后一次在 \(p\) 处使用的最小花费，转移显然。