NOIP2018 填数游戏
填数游戏
小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。
这个填数游戏的棋盘是一个 \(n\times m\) 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 \(0\) 或者数字 \(1\)），填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。
为了方便描述，我们先给出一些定义：
-
我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即 \((x,y)\)，其中，\(x\) 为行坐标，\(y\) 为列坐标。（注意：行列坐标均从 \(0\) 开始编号）；
-
合法路径 \(P\)：一条路径是合法的当且仅当：
-
这条路径从矩形表格的左上角的格子 \((0,0)\) 出发，到矩形的右下角格子 \((n-1,m-1)\) 结束；
-
在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
-
例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 \(P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)\)。
对于一条合法的路径 \(P\)，我们可以用一个字符串 \(w(P)\) 来表示，该字符串的长度为 \(n+m-2\)，其中只包含字符 R 或者字符 D，第 \(i\) 个字符记录了路径 \(P\) 中第 \(i\) 步的移动方法，R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 \(P_1\)，有 \(w(P_1)=\texttt{RD}\)；而对于另一条路径 \(P_2\)，有 \(w(P_2)=\texttt{DR}\)。
同时，将每条合法路径 \(P\) 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 \(n+m-1\) 的 \(01\) 字符串，记为 \(s(P)\)。例如，如果我们在格子 \((0,0)\) 和 \((1,0)\) 上填入数字 \(0\)，在格子 \((0,1)\) 和 \((1,1)\) 上填入数字 \(1\)（见上图红色数字）。那么对于路径 \(P_1\)，我们可以得到 \(s(P_1)=\texttt{011}\)，对于路径 \(P_2\)，有 \(s(P_2)=\texttt{001}\)。
游戏要求小 D 找到一种填数字 \(0,1\) 的方法，使得对于两条路径 \(P_1,P_2\)，如果 \(w(P_1)\gt w(P_2)\)，那么必须 \(s(P_1)\le s(P_2)\)。我们说字符串 \(a\) 比字符串 \(b\) 小，当且仅当字符串 \(a\) 的字典序小于字符串 \(b\) 的字典序，字典序的定义详见第 1 题。但是仅仅是找 \(1\) 种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满组游戏的要求？
小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 \(0,1\) 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。
题解
耳濡目染地做了这道题：DFS打表，发现等比数列。
性质：
-
对于每一个斜行，其 \(0/1\) 状态一定是存在一个分界点，使得其左下方都是 \(1\)，其右上方都是 \(0\)。
-
\(ans(n,m)=ans(m,n)\)，反转一下 \(0/1\) 就能发现。
-
如果某一个格子它左边上边的两个格子的 \(0/1\) 是相同的，或者它左边或上边有格子是模糊点，那这个格子就是模糊点；模糊点右边下边的两个格子的 \(0/1\) 必须相同。
满足这几条性质的矩阵一定是合法的，所以就可以打表了。\(n=m=8\) 的数据都能在 1s 中跑出来。
| n\m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | |
| 2 | 4 | 12 | 36 | 108 | 324 | 972 | 2916 | 8748 | |
| 3 | 8 | 36 | 112 | 336 | 1008 | 3024 | 9072 | 27216 | |
| 4 | 16 | 108 | 336 | 912 | 2688 | 8064 | 2419 | 272576 | |
| 5 | 32 | 324 | 1008 | 2688 | 7136 | 21312 | 63936 | 191808 | |
| 6 | 64 | 972 | 3024 | 8064 | 21312 | 56768 | 170112 | 510336 | 1531008 |
| 7 | 128 | 2916 | 9072 | 24192 | 63936 | 170112 | 453504 | 1360128 | 4080384 |
| 8 | 256 | 8748 | 27216 | 272576 | 191808 | 510336 | 1360128 | 3626752 | 10879488 |
发现当 \(m≥n+1\) 时答案是等比数列，所以打个表即可。
打表程序：
int n,m;
struct crd {int x,y;}; // coordinate
vector<crd> col[100]; // column
int wei[100][100],vis[100][100];
int ans;
IN void dye(CO crd&p,int w){
wei[p.x][p.y]=w;
}
IN void visit(CO crd&p){
vis[p.x][p.y+1]=1;
}
void dfs(int x){
if(x==n+m){
// puts("matrix=");
// for(int i=1;i<=n;++i)
// for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",wei[i][j]," \n"[j==m]);
// puts("vis=");
// for(int i=1;i<=n;++i)
// for(int j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",vis[i][j]," \n"[j==m]);
++ans;
return;
}
for(int i=0;i<(int)col[x].size();++i){
CO crd&p=col[x][i];
if(p.x>1 and vis[p.x-1][p.y]) vis[p.x][p.y]=1;
if(p.y>1 and vis[p.x][p.y-1]) vis[p.x][p.y]=1;
}
for(int i=0;i<=(int)col[x].size();++i){
if(i>0 and i<(int)col[x].size()){
CO crd&p=col[x][i];
if(vis[p.x][p.y-1]) continue;
}
if(x<n+m-1){
for(int i=0;i<(int)col[x+1].size();++i){
CO crd&p=col[x+1][i];
vis[p.x][p.y]=0;
}
}
for(int j=0;j+1<=i;++j) dye(col[x][j],1);
for(int j=0;j+1<=i-1;++j) visit(col[x][j]);
for(int j=i;j<(int)col[x].size();++j) dye(col[x][j],0);
for(int j=i;j<(int)col[x].size()-1;++j) visit(col[x][j]);
dfs(x+1);
}
}
int main(){
// freopen("game.out","w",stdout);
read(n),read(m);
if(n>m) swap(n,m);
for(int i=1;i<=n;++i){
col[i].push_back((crd){i,1});
while(col[i].back().x>1)
col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
}
for(int i=n+1;i<=m-1;++i){
col[i].push_back((crd){n,i-n+1});
while(col[i].back().x>1)
col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
}
for(int i=max(n+1,m);i<=n+m-1;++i){
col[i].push_back((crd){n,i-n+1});
while(col[i].back().y<m)
col[i].push_back((crd){col[i].back().x-1,col[i].back().y+1});
}
dfs(1);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
AC程序：
int main(){
freopen("game.in","r",stdin),freopen("game.out","w",stdout);
int n=read<int>(),m=read<int>();
if(n>m) swap(n,m);
switch(n){
case 1:{
printf("%d\n",fpow(2,m));
break;
}
case 2:{
if(m==2) puts("12");
else printf("%d\n",mul(36,fpow(3,m-3)));
break;
}
case 3:{
if(m==3) puts("112");
else printf("%d\n",mul(336,fpow(3,m-4)));
break;
}
case 4:{
if(m==4) puts("912");
else printf("%d\n",mul(2688,fpow(3,m-5)));
break;
}
case 5:{
if(m==5) puts("7136");
else printf("%d\n",mul(21312,fpow(3,m-6)));
break;
}
case 6:{
if(m==6) puts("56768");
else printf("%d\n",mul(170112,fpow(3,m-7)));
break;
}
case 7:{
if(m==7) puts("453504");
else printf("%d\n",mul(1360128,fpow(3,m-8)));
break;
}
case 8:{
if(m==8) puts("3626752");
else printf("%d\n",mul(10879488,fpow(3,m-9)));
break;
}
}
return 0;
}
