欧拉公式的证明

欧拉公式的证明

欧拉公式（Euler's Formula）的证明有多种方法，以下提供四种严谨的数学证明，从不同角度揭示其本质：

欧拉公式：

\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]

---

证明一：泰勒级数展开法（最直接）

核心思想：将函数展开为泰勒级数，比较等式两边。

1. 指数函数 \(e^x\) 的泰勒展开：

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

2. 将 \(x = i\theta\) 代入（\(i = \sqrt{-1}\))：

\[e^{i\theta} = 1 + (i\theta) + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots \]

3. 化简虚数幂次（利用 \(i^2 = -1\))：

\[\begin{align*} i^0 &= 1, \\ i^1 &= i, \\ i^2 &= -1, \\ i^3 &= -i, \\ i^4 &= 1, \\ i^5 &= i, \quad \text{(周期为4)} \end{align*} \]

代入后：

\[e^{i\theta} = \underbrace{1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots}_{\text{实部}} + i \underbrace{\left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)}_{\text{虚部}} \]

4. 识别三角函数的泰勒级数：

\[\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots, \quad \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \]

结论：

\[\boxed{e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta} \]

---

证明二：微分方程法（最优雅）

核心思想：构造函数，证明其导数为零（即常数函数）。

1. 定义函数：

\[f(\theta) = e^{-i\theta} (\cos \theta + i \sin \theta) \]

2. 求导（使用乘积法则）：

\[\begin{align*} f'(\theta) &= \frac{d}{d\theta} \left[ e^{-i\theta} \right] (\cos \theta + i \sin \theta) + e^{-i\theta} \frac{d}{d\theta} \left[ \cos \theta + i \sin \theta \right] \\ &= (-i e^{-i\theta}) (\cos \theta + i \sin \theta) + e^{-i\theta} (-\sin \theta + i \cos \theta) \\ &= e^{-i\theta} \left[ -i \cos \theta + \sin \theta - \sin \theta + i \cos \theta \right] \\ &= e^{-i\theta} \cdot 0 = 0 \end{align*} \]

3. 导数为零 → \(f(\theta)\) 是常数函数。
4. 计算初值（\(\theta = 0\)）：

\[f(0) = e^{0} (\cos 0 + i \sin 0) = 1 \cdot (1 + 0) = 1 \]

5. 结论：

\[f(\theta) = 1 \implies e^{-i\theta} (\cos \theta + i \sin \theta) = 1 \implies \boxed{e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta} \]

---

证明三：积分法（几何意义）

核心思想：复平面上单位圆的参数方程。

1. 定义复函数：

\[z(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta \]

其模恒为 1（单位圆），且 \(z(0) = 1\).

2. 求导：

\[\frac{dz}{d\theta} = -\sin \theta + i \cos \theta = i (\cos \theta + i \sin \theta) = i \cdot z(\theta) \]

3. 解微分方程：

\[\frac{dz}{d\theta} = i z \implies \int \frac{dz}{z} = \int i d\theta \implies \ln z = i\theta + C \]

代入初值 \(z(0) = 1\)：

\[\ln 1 = i \cdot 0 + C \implies C = 0 \implies \ln z = i\theta \implies \boxed{z = e^{i\theta}} \]

---

证明四：极限法（复指数定义）

核心思想：用极限定义复指数，结合复数乘法几何意义。

1. 复指数定义：

\[e^{i\theta} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{i\theta}{n} \right)^n \]

2. 分析复数乘法：

   • 复数 \(1 + \frac{i\theta}{n}\) 的模：\(r_n = \sqrt{1 + \left( \frac{\theta}{n} \right)^2}\)
   • 幅角：\(\phi_n = \tan^{-1} \left( \frac{\theta/n}{1} \right) \approx \frac{\theta}{n}\)（当 \(n \to \infty\)）

3. 计算 \(n\) 次幂：

   • 模：\([r_n]^n = \left( 1 + \frac{\theta^2}{n^2} \right)^{n/2} \to 1\)（因 \((1 + \frac{a}{n^b})^n \to 1\) 当 \(b>1\))
   • 幅角：\(n \cdot \phi_n = n \cdot \tan^{-1}(\theta/n) \approx n \cdot (\theta/n) = \theta\)

4. 极限行为：

\[\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{i\theta}{n} \right)^n = \text{模为 } 1 \text{、幅角为 } \theta \text{ 的复数} = \boxed{\cos \theta + i \sin \theta} \]

---

为什么需要欧拉公式？

1. 统一指数与三角函数：在复平面上揭示指数函数与圆周运动的等价性。
2. 简化计算：复指数运算比三角函数更易微分/积分（如 \(\frac{d}{dt}e^{i\omega t} = i\omega e^{i\omega t}\)）。
3. 傅里叶分析基础：任何周期函数可表示为 \(\sum c_k e^{i k \omega t}\)。
4. 量子力学核心：波函数 \(\psi(x,t)\) 常写作 \(e^{i(kx - \omega t)}\)。

名言：“欧拉公式是数学中最卓越的公式之一，它连接了代数、几何、三角与分析的桥梁。” —— Richard Feynman

‍