[GESP202312 八级] 奖品分配的题解

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【题目描述】

班上有\(N\)名同学，学号从\(0\)到\(N-1\)。有\(M\)种奖品要分给这些同学，其中，第\(i\)种奖品共有\(ai\)个（i=0,1,2...M-1)。

巧合的是，奖品的数量不多不少，每位同学都可以恰好分到一个奖品，且最后剩余的奖品不超过\(1\)个（即：N <= a₀+a₁+a₂+...+a_M-1<=N+1)。

现在，请你求出每个班级礼物分配的方案数，所谓方案，指的是为每位同学都分配一个种类的奖品。

只要有一位同学获得了不同种类的奖品，即视为不同的方案。方便起见，你只需要输出方案数对\(10^9+7\)取模后的结果即可。

共有\(T\)个班级都面临着奖品分配的问题，你需要依次为他们解答。

【输入格式】

第一行一个整数\(T\)，表示班级数量。

接下来是\(T\)行，每行若干用单个空格隔开的正整数。首先是两个正整数\(N\), \(M\),接着是\(M\)个整数a₀，a₁...a_M-1。保证\(N\) <= a₀+a₁+a₂+...+a_M-1<=\(N+1\)。

【输出格式】

输出T行，每行一个整数，表示该班级分配奖品的方案数对\(10^9+7\)取模后的结果。

【输入输出样例#1】

输入 #1

输出 #1

3
4
20

输入 #2

5
100 1 100
100 1 101
20 2 12 8
123 4 80 20 21 3
999 5 101 234 499 66 99

输出 #2

【说明提示】

样例解释 1

对于第1个班级，学号为0，1，2的同学可以依次分别获得奖品0，1，1，也可以依次分别获得奖品1，0，1，也可以依次分别获得奖品1，1，0，因此共有3种方案。

对于第2个班级，学号为0，1，2的同学可以依次分别获得奖品0，1，1，也可以依次分别获得奖品1，0，1，也可以依次分别获得奖品1，1，0，也可以依次分别获得奖品1，1，1，因此共有4种方案。

对于第3个班级，可以把编号为0的奖品分配给5名同学中的任意一名，共有5种方案；再把编号为2的奖品分配给剩余4名同学中的任意1名，共有4种方案；最后给剩余3名同学自然获得1号奖品。因此，方案数为\(5*4=20\)。

数据范围

对于\(30\)%的测试点，保证\(N\) <= 10。

对于另外\(30\)%的测试点，保证\(M\)<=2。

对于所有测试点，保证\(N\)<=1000；保证\(T\)<=1000；保证\(M\)<=1001。

思路

我们仔细看看样例解释的第三个班级，它的描述方式是不是很熟悉，对的，这就是一个~~很简单的~~组合数问题。这道题只有一个很麻烦的地方，就是有一种情况，所有的奖品数之和是等于N+1的。那我们就来分类讨论：
第一种情况（奖品数等于人数）
正合我们意，直接先用杨辉三角预处理出组合数，然后带入在剩余的\(N\)个人中选出ai个人，也就是\(C_{N}^{ai}\)（记得每次求出答案后要把\(N\)减去ai）代码如下：

for(int i = 1; i <= m; i++){
    ans = ans * f[n][a[i]] % mod;
    n -= a[i];
}

其中的f数组为组合数数组，记得取模！！
第二种情况（奖品数等于人数加一）
现在就有一个问题了，我们到底剩下那个奖品？考虑考虑就会知道，其实剩下的那个礼物我们是可以枚举的，但是时间复杂度呢？首先有T个问题，然后枚举剩下的那个奖品，最后在计算方案数，时间复杂度达到了惊人的\(O(N^3)\)，我们看看\(N\)的大小，为1000，那么大小为\(O(10^9)\)，这个时间复杂度那是肥肠的危险（但是本人试过，还是可以过，数据太水了！！吐槽），那我们考虑该如何优化时间复杂度。
其实认真想的话可以得知，这个操作也是非常的类似排列组合（就相当于在\(N\)个里面选择\(1\)个），那我们不如把他也放进我们一开始的组合数计算。那该怎么把他归并到一开始的组合数计算呢？很简单，只需要再加一个“虚拟的”人就行了。为什么这样可以呢？因为每个人有且只有一个奖品，那我们那个“虚拟的”人所拿到的奖品不就可以看成剩余的那个奖品吗？然后你就会发现，这不就是前面的组合数求解吗？（简直一摸一样）代码如下：

if(人数<奖品数）n ++;
for(int i = 1; i <= m; i++){
    ans = ans * f[n][a[i]] % mod;
    n -= a[i];
}

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;//注意取模
const int N = 1010;
int T, a[N];
ll f[N][N];//组合数（杨辉三角）答案的存储数组
void init(int n){//杨辉三角求解，也就是求出组合数
    for(int i = 0; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= i; j++){
            if(i == j || j == 0) f[i][j] = 1;//判断边界
            else f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % mod;//注意取模
        }
}
void calc(){
    int n, m; cin >> n >> m;
    ll ans = 1;//答案
    int sum = 0;//求出奖品总数
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    if(sum != n) n ++;//如果是第二种情况那么就加一个“虚拟的”人
    for(int i = 1; i < m; i++){//组合数求解，用汉字表达就是在剩余的n个人中选出ai个人的方案数
        ans = ans * f[n][a[i]] % mod;
        n -= a[i];//这一步很重要，记得把已经选过的人减掉
    }
    cout << ans << "\n";//输出答案
}

int main(){
    cin >> T;
    init(1001);//注意了！我一开始也卡在这了，初始值一定要赋到1001，因为如果出现了人数不等于奖品数而且人数为1000的情况就会错
    while(T --) calc();//T组数据求解方式
	return 0;//goodbye!（撒花花！！）
}

posted @ 2025-03-01 14:53 Ryan_L_F 阅读(258) 评论(1) 收藏举报

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