[论文阅读报告] On the Fast Searching Problem, AAIM '08

本文介绍了一种新的博弈问题- “Fast Searching”作为 Edge Searching的一种变体。研究了该问题在树上和二分图上的性质，
并给出了该博弈在树上的一个线性时间算法以及一个general cost function用来衡量search strategies在Fast Searching和Edge Searching问题上优劣。

Edge Searching(Basic Problem)

给定图$G=(V,E)$，其中$G$是简单联通图。假设一开始每条边都是被污染的，我们的目标是清理整个图，清理的动作如下：先选取一些点，在这些点上放$k$个searchers，允许一个点上放多个searchers。接下来的每一步，我们可以选择将一个searcher从一个点移动到任意一个点(jump)，或者让一个searcher从当前点沿着边移动到相邻点(slide)。一个seacher沿着边$e=uv$从$u$移动到$v$, 如果满足：(1) 有另一个seacher在$u$ 或者 (2) 与u相连的所有边都是clean的了，我们说$e$是clean。一个seacher在$v$，我们说$v$ 是 guarded。如果一条路径不包含不包含 guarded vertice，那么称这条路径是 unguarded path。在一条unguared path上，显然，如果有一条干净边的端点以及一条污染边的端点，那么这条干净边就会被污染。

在这样的定义下，求清洁整张图的最小seacher个数。

如果一个策略能在博弈的过程中保证已经被清洁的边保持干净，那么我们称这个策略就是是单调的。类似的，如果一个策略能在博弈的过程中保证被清洁的边导出一个联通子图，我们称这个决策是联通的。

Fast Searching(Main problem)

基本的定义与上面保持一致，同时要求每条边只经过一次且只能使用slide操作，另外要求策略单调。求在满足上述策略的前提下最小的searcher数量，记为$S_f(G)$。

先给出了一些基本的结论，比如完全图上的结果、\(S_f(G)\)和奇度数点个数的关系。
通过给出一个构造的图(两个完全图的笛卡尔积)\(G\)和它的一个子图\(H\)说明这个问题子图和原本图的联系不密切，而且还给出一个构造说明\(S_f(H)/S_f(G)\)可能会变的很大。也就是说取子图并不会让这个问题变得简单。(how it is interesting)

Tree

给了一个Tree Partition算法(TP)，将树分成多个不重叠路径，然后基于这些路径给了一个FS算法,来将整棵树clean。
引理3 每次FS算法回到step3的时候，都能保证至少有一条边被clean。 引理3也说明了算法的正确性，因为要回到step3，就需要原图\(T\)中至少还有一条边。只要算法结束，就说明所有的边被clean了。

• 证明正确性时用的反证法，即假设虽然回到了step3，但是无法clean边。通过反证法得到染色数和searcher之间的数量矛盾，因此引理得证。
• 用到了一个结论，\(deg \geq 3\)的点的个数 < \(deg=1\)的点的个数。

之后又给出了树上\(S_f(T)\)和奇数度点的数量关系，还给出了一个构造说明\(S(G)\)和\(S_f(G)\)可以差很多。(即big gap between edge-search problem and fast searching problem)

Bipartite Graph

先给了一些完全二分图基本case的结论(引理4)，然后继续说明有关\(S(K_{m,n})\)和\(S_f(K_{m,n})\)的数量信息。(这里分类涉及m、n的奇偶)

引理5 通过构造了一个具体的策略给出了\(S_f(K_{m,n})\)的上界(m为偶数)。定理4收紧了这个界，即确定了\(S_f(K_{m,n})\)的具体值。(通过证明m+2是不可能实现的)。证明的过程是case by case的，即确定了\(u_1\)被clean之后，枚举局面的可能以及后面的几步该怎么走，从而证明不论什么局面下，都不会走下去。

之后又证明了m为奇数，n为偶数的时候，\(S_f(K_{m,n})\)的上界。净一步推广到m为奇数，n不限的情况下。(给出策略)

Cost Function

给出了一个量化函数，\(C_G(s,t)=\alpha s + \beta s t+\gamma t\),其中\(\alpha,\beta,\gamma\)都是常数，\(s\)是策略需要的seacher的个数，\(t\)是需要的总步数。这是一种新的思路，不同于最小化人数或者搜索步数，我们最小化这个函数。给出对于n-star的分析，在这个图中，t是关于n和s的函数，因此最终可以写为\(C_G(s)\)，是一个二次函数。

conclusion

• 基本lemma的给出，数量关系的分析。
• 策略的给出，对于简单图(特殊图)的算法
• 算法正确性的证明
• 一些构造，来说明问题是interesting的