校招真题练习033 音乐列表(贝壳)

音乐列表

题目描述
小明喜欢在火车旅行的时候用手机听音乐，他有N首歌在手机里，在整个火车途中，他可以听P首歌，所以他想产生一个播放表产生P首歌曲，这个播放表的规则是：
(1)每首歌都要至少被播放一次
(2)在两首一样的歌中间，至少有M首其他的歌
小明在想有多少种不同的播放表可以产生，那么给你N,M,P，你来算一下，输出结果取1000000007的余数

输入描述:
输入N,M,P
N范围在1到100
M范围在0到N
P范围在N到100

输出描述:
输出结果mod 1000000007的余数

import math
n,m,p = map(int,input().split())
dp = [[0 for _ in range(p+1)] for _ in range(n+1)]
for i in range(m+1,n+1):
    for j in range(i,p+1):
        if j == i or i == m+1:
            dp[i][j] = math.factorial(i)
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] * i + dp[i][j-1] * (i-m)
print(dp[n][p]%1000000007)

算法思路：动态规划。

本题目要计算的是，用n首不同的歌曲组成一个长度为p的歌曲列表，有多少种可能。

其中有两个条件：

1每首歌曲至少要播放一次，那必定p>=n，否则本条件无法满足，这个条件是隐含的，容易被忽略；

2相同的两首歌中间，至少间隔m首其他的歌曲。

举一个实际的例子来说明本题目的思路。假设n=4,m=2,p=5。

定义dp[n+1][p+1]二维数组，初始值为0。每一个元素表示由i首歌组成长度为j的列表，有多少可能。显然dp[n][p]即为所求。

i=0,表示有0首歌，其值都为0，表示不可能组成歌单。

i=1，表示有1首歌，要分两种情况讨论：

　　如果m=0，则值为1；如果m>=1，则值为0。本题m=2，因此值均为0。

i=2，表示有2首歌，

　　如果m=0，则2*2=4；如果m=1，则2*1=2；如果m>=2，则值为0。本题m=2，因此值为0。

由以上分析可发现，从第0行到第m行的值均为0，那么只需要从第m+1行开始计算即可。见代码第4行：range(m+1,p+1)

i=3，表示有3首歌，本题m=2，

　　j=3，第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第二个位置有1种选择。见代码第7行math.factorial()计算阶乘。

　　j=4，要计算的是3首歌生成一个长度为4的歌单，把此问题分成两部分考虑：

　　　　第一部分，2首歌生成长度为3的歌单，间隔2首。左上 * i

　　　　第二部分，3首歌生成长度为3的歌单，间隔2首。左 * (i - m)

　　结果为两部分之和。

但是为什么这样划分，我还没有想明白。只能先记录下来吧，也许以后能理解吧。