邻接矩阵
视频笔记：https://www.bilibili.com/video/BV1cs411H7sz?t=38&p=48 （电子科技大学）
一，定义
1，设图 G = < V,E >，其中 V = {v1,v2,··· ,vn}，并假定结点已经有了从 v1 到 vn 的次序，则 n 阶方阵
AG = (aij)nxn 称为 G 的邻接矩阵 (adjacency matrix)，其中 (i,j = 1,2,3,··· ,n)
aij = { 1 < vi,vj >∈E 或 (vi,vj) ∈E ，
{ 0 否则
这里的定义可同时表示有向图和无向图，但这个邻接矩阵 ，他这里只用了 1 ，只表示一条边，是简单图。它也可以为 n，表示多条边，对应多重图
二，求补图
1，补图：设 G = < V,E > 为简单图，G′ = < V,E1 > 为完全图，则称
G1 =< V, E1 −E > 为 G 的补图(complement of graph)，记为G(上面有道横线)。
2，若设简单图 G 的邻接矩阵 A = (aij)n×n，则它的补图 G 的邻接矩阵 A(上面有个横线) = ( aij (a 的上面有个横线) )n×n 为：
aij (a 的上面有个横线) = { 1−aij i̸= j
{ 0 i = j , (i,j = 1,2,3,··· ,n)
注意：前提是简单图。
三，计算度数
设图 G =< V,E >，V = {v1,v2,··· ,vn} 的邻接矩阵为
A = a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
. . . . . . . . .
an1 an2 ··· ann
若 G 是无向图，则结点 vi 的度数 deg(vi) = n ∑ k=1 ( aik +aii ) ，或 deg(vi) = n ∑ k=1 ( aki +aii )
若 G 是有向图，则结点 vi 的出度 deg+(vi) = n ∑ k=1 ( aik )，入度 deg−(vi) = n ∑ k=1 ( aki )
（ 无向图的 aii 代表环，在计算 度数 时，要计算两遍 ）
四，通路数量的计算
1，引入
我们经常会考虑如下的问题:
有多少种方式可从成都到达北京？
猫头鹰和松鼠之间的间接食物竞争有哪些方式？
报文有多少种方式可从 A 计算机发送到距离很远的 B 计算机？
这些问题都可以归结为求图中任何两个结点间有多少条长度为 m 的通路的问题。 若使用人工方式，随着图中结点和边的数目增加，其难度将呈几何级数增加。
而 利用计算机，我们可以较为容易且准确的解决这个问题
2，计算
设 G = < V,E > 为线图（简单图），V = {v1,v2,··· ,vn}，A = (aij)nxn 为 G 的邻接矩阵，
Am = (a(m) ij )nxn。则:
a(m) ij 为从结点 vi 到结点 vj 长度为 m 的通路数目;
a(m) ii 为结点 vi 到自身的长度为 m 的回路数目;
n ∑ i=1 n ∑ j=1 a(m) ij 是 G 中长度为 m 的通路（含回路）总数. （所有元素的 和）
n ∑ i=1 a(m) ii 是 G 中长度为 m 的回路总数. （对角线上元素的 和）
其中，A(m)，a(m) 代表 矩阵的 m 次幂
3，证明
对 m 用数学归纳法。
1 当 m = 1 时，显然成立。
2 设 m = k 时，定理成立。
3 证明 m = k+ 1 时定理成立。因为 (a(k+1) ij )n×n = Ak + 1 = A × Ak = (n ∑ p= 1 (aip ) ( a(k) pj ) )n×n，
故 a(k+1) ij = n ∑ p= 1 (aip ) ( a(k) pj )，而 aip 是结点 vi 到 vp 长度为 1 的通路数目，
a(k) pj 是结点 vp 到 vj 长度为 k 的通路数目，故 (aip ) ( a(k) pj )是从结点 vi 经过 vp 到结点 vj 的长度为 k+1 的通路数目，
那么 n ∑ p=1 (aip ) ( a(k) pj ) 是从结点 vi 到结点 vj 的长度为 k+ 1 的通路数目。 ( 其中，a(k) 代表 矩阵的 k 次幂 )
4, 推论
设矩阵 B(m) = (bij)n×n = A(1)+A(2) +···+A(m) (m⩾ 1),
则 bij 表示结点 vi 到 vj 长度不大于 m 的通路数目，
而 n ∑ i=1 n ∑ j=1( bij ) 则可表示图中长度不大于 m 的通路总数，
n ∑ i=1 ( bii ) 则可表示 图中所有长度不大于 m 的回路总数。
五， 可达性的判定
1，考虑: 如何判断图中两结点间是否可达？
判断图中两结点 vi 到 vj 是否可达的关键是判断是否存在通路，
因而只要求邻接矩阵 A 及其正整数次幂 A,A2,A3,···，一旦发现这些矩阵中 i 行 j 列元素为非 0，则表示存在通路。
2，定理
在一个具有 n 个结点的图中，如果从结点 vi 到结点 vj(vi ̸= vj) 存在一条通路，则从 vi 到 vj 存在一条长度不大于 n−1 的通路.
在一个具有 n 个结点的图中，如果存在经过结点 vi 回路，则存在一条经过 vi 的长度不大于 n 的回路。
所以不需要算到 无穷次幂，只需算到 n-1 次幂。
所以：设 G = < V,E > 为线图，V = {v1,v2,··· ,vn}，A = (aij)nxn 为 G 的邻接矩阵， Am = (a(m) ij )nxn，m = 1,2,··· ,n，Bn = (b(n) ij )nxn = A+A2 +A3 +···+An。
则有当 vi ̸= vj 时，如果b(n) ij > 0，那么从 vi 到 vj可达，否则不可达。
（注意：这里的 n 是结点数，不是边数）
3， 可达性矩阵
① 设 G =< V,E > 是一个线图，其中 V = {v1,v2,··· ,vn}，并假定结点已经有了从 v1 到 vn 的次序，称 n 阶方阵
P = (pij) nxn 为图 G 的 可达性矩阵(accessibility matrix)，其中 (i,j = 1,2,3,··· ,n)
pij = { 1 当vi到vj可达
{ 0 否则
1 无向图的可达性矩阵是对称的，而有向图的可达性矩阵则不一定对称;
2 由前面的讨论可知，通过计算 Bn 就可计算出 P 中各元素，即
pij = { 1 b(n) ij ̸= 0
{ 0 b(n) ij = 0 , (i,j = 1,2,3,··· ,n)
② 设 G =< V,E > 为线图，A、P 分别是 G 的邻接矩阵和可达性矩阵，
则有 P = A∨A(2) ∨A(3) ∨···∨A(n), 这里，A(i) 表示做矩阵布尔乘法的 i 次幂.
这里应该是 将矩阵的乘法 变成 析取，即结果只能为 0 或 1.
六，结点间的最短路径的计算
1，设 G =< V,E > 为线图，V = {v1,v2,··· ,vn}，A = (aij)nxn 为 G 的邻接矩阵，
Am = (a(m) ij )nxn，m = 1,2,··· ,n，
d(vi,vj) = { ∞ 如果所有a(m) ij 均为0
{ k k = min{m|a(m) ij ̸= 0} ,(m = 1,2,3,··· ,n)。
显然，这里也可以使用邻接矩阵的布尔积幂来判定。
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临安春雨初霁 陆游（宋）
世味年来薄似纱，谁令骑马客京华。
小楼一夜听春雨，深巷明朝卖杏花。
矮纸斜行闲作草，晴窗细乳戏分茶。
素衣莫起风尘叹，犹及清明可到家。
