【二分】LeetCode 33. 搜索旋转排序数组【中等】

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

 

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

示例 3：

输入：nums = [1], target = 0
输出：-1
 

提示：

1 <= nums.length <= 5000
-10^4 <= nums[i] <= 10^4
nums 中的每个值都 独一无二
题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
-10^4 <= target <= 10^4
 

进阶：你可以设计一个时间复杂度为 O(log n) 的解决方案吗？

【分析】

方法一：二分查找

对于有序数组，可以使用二分查找方法查找元素。

但是这道题目中，数组本身不是有序的，进行旋转后只保证了数组的局部是有序的，这样还能进行二分查找嘛？答案是可以的。

我们发现，我们将数组从中间分开成左右两部分的时候，一定有部分数组是有序的。拿示例来看，我们从6这个位置分开以后数组变成了[4,5,6] 和 [7,0,1,2]两个部分，其中左边[4,5,6]这个部分的数组是有序的，其他也是如此。

这启示我们可以在常规二分查找的时候查看当前mid为分割位置分割出来的两个部分[1, mid]和[mid+1, r]哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们改该如何改变二分查找的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出target在不在这个部分：

（1）如果[1, mid-1]是有序数组，且target的大小满足[nums[l], nums[mid])，则我们应该将搜索范围缩小至[l, mid-1]，否则在[mid+1, r]中寻找。

（2）如果[mid, r]是有序数组，且target的大小满足（nums[mid+1], nums[r]]，则我们应该将搜索范围缩小至[mid+1, r]，否则在[l, mid-1]。

 

需要注意的是，二分的写法有很多种，所以在判断target大小与有序部分的关系的时候可能会出现细节上的差别。

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        if not nums:
            return -1
        l, r = 0, len(nums) - 1
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if nums[mid] == target:
                return mid

            if nums[0] <= nums[mid]:
                if nums[0] <= target <= nums[mid]:
                    r = mid - 1
                else:
                    l = mid + 1
            else:
                if nums[mid] < target <= nums[len(nums) - 1]:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid - 1
        return -1

时间复杂度：O(log n)，其中n为nums数组的大小。整个算法时间复杂度即为二分查找的时间复杂度O(log n)。

空间复杂度：O(1)，只需要常数级别的空间存放量。