DP题记录

像我这种低批废物，不得不记录一些套路了。

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寒假集训 dp 题记录。

P7962 [NOIP2021] 方差

首先观察性质，得到差分可以交换，并且最优情况下是单谷的。

剩下的就比较简单了。把式子化一下，拆成一个差，然后把后项设为状态最大化前项即可。

P8392 [BalticOI 2022] Uplifting Excursion (Day1)

厉害题。首先注意到容量大但是单价小，所以考虑直接贪心，然后反悔。

具体地，把贪心后的重量限制在 \((L-m,L]\) 中，如果不在就贪心地拿出最大/最小。

然后就是 dp，不断拿出、放回元素，慢慢逼近 \(L\)。这个过程中背包重量一定可以限制在 \((L-m,L+m)\) 内。

然后观察可得，调整过程中背包重量不会出现两次。因为如果出现两次，它肯定是拿出来若干，再塞回去更少数目，必定不优（前面的贪心保证了不会出现以少换多的情况）。

于是最多也就会操作 \(2m\) 个物品，dp 的背包容量就只有 \([-2m^2,2m^2]\) 了。（好像只有 \([-m^2,m^2]\)？）

P7519 [省选联考 2021 A/B 卷] 滚榜

典型的省题题。首先只需找到 \(b_i\) 的差分，转移时就直接使差分尽可能小，因为题目只求排列方案，与 \(b_i\) 的分配无关。

暴力的想法是枚举差分。但这样甚至是错误的，因为一个排列会被算多次。

AT_abc221_h [ABC221H] Count Multiset

挺神奇的题。

首先容易想到把多重集排个序，然后看成一张柱状图。

然后最直接的想法是，定义 \(f_{S,i,x}\) 表示目前总和为 \(S\)，摆放了 \(i\) 个数，此时摆放的数为 \(x\) 的方案数。转移：

\[f_{S,i,x} = \sum_{j = 0}^{\min(m,i)} f_{S - x*j,i-j,x-1} \]

这个东西时间复杂度不能接受，为 \(\mathcal{O}(n^3)\)。我们想要优化它，但是貌似难以下手——转移的时候不能用类似前缀和的优化，因为 \(S\) 的变化是间隔 \(x\) 的，并且 \(x\) 这一维显得很浪费。

于是考虑枚举 \(x\)，每次只塞一个 \(x\)。。。但是还是难以满足题目的需求，并且无法限制 \(m\) 个相同的数。

这时候，我们考虑从上往下推！

设 \(f_{S,x}\) 表示总和为 \(S\)，当前层宽度为 \(x\) 的方案数。

转移：

\[f_{S,x} = \sum_{y=0}^{min(m,x)} f_{S-x,x-y} \]

啊？怎么突然变得这么简单？太神奇了吧。

前缀和优化即可。

（后记：其实在写题解的时候一直在想，要怎么想到这个思路。。。但发现它就是凭空出现的，一个很牛的思路。。。是因为没见过这个套路吗？这谁见过啊。看来这就是所谓的思维题吧。）

AT_agc013_d [AGC013D] Piling Up

考虑画出白球随取的次数变化的图像，容易发现它要么向上，要么不变，要么向下。

如果设 \(f_{i,j}\) 表示取了 \(i\) 个，目前有 \(j\) 个白球，但是这可能会算重（因为拿出球的序列是相同的）。

所以就很套路地强制必须出现 \(0\) 个白球的情况。这样不仅能不重不漏，还可以不让白球取到负。所以就加一维 \(0/1\) 表示是否有过没有白球的情况。

AT_agc002_f [AGC002F] Leftmost Ball

首先，不妨把第一个出现某个颜色的球涂成白色。

然后你要让每个白球唯一对应一个颜色，否则会算重。

因此从最左侧开始，如果遇到一个白球，那么钦定往右第一个遇到的没有被选过的颜色就是它原本的颜色。

于是这就很像一个拓扑序的问题，必须先选前一个白球才能选这个白球，而必须先选前一个颜色的彩球才能选这个颜色的。

到这里，如果你反应比较快，会发现它其实就把问题简化成了 \(k=2\) 的情况，因为剩下的 \(k-2\) 个可以在放完前两个球之后随便放，而且剩余的空位的个数不受影响。

然后考虑 dp，既然这两个相互独立，那就都设为状态好了。设 \(f_{i,j}\) 表示放了 \(i\) 个白球，放了 \(j\) 个颜色的剩余 \(k-1\) 个彩球。

如果选择放白球，那么选择唯一。因为肯定要放第一个没有被占的位置。

如果选择放剩余 \(k-1\) 个彩球，那么第一个彩球肯定放第一个，而后面是没有限制的，没有被占的位置都可以放上，就可以直接组合数。

转移方程的话去看其他题解吧。我认为这个自己很容易写出来。