网络流

好东西，可以学

2022.3.25更新

确实是好东西，下次再更

2022.3.25晚

总有人抱怨我写的太认真/lh,我不会markdown我也很无奈啊/yun。

网络流24题网上比我写的好的很多，我就不献丑了，接下来我们就讲讲最小割吧

练习一：[THUPC2022 初赛] 分组作业

相信聪明的你已经做出来了，那么我说说我的做法。
考虑最小割的本质。
将每个点赋0，1值，我们称之为$w_i$，我们要求的就是$w_S=1,w_T=0$情况下,$$\min({a_{i,j} \times\max(w_i-w_j,0)})$$
什么是最小割呢？所谓最小割，就是最小的隔断，至于为什么是最小的隔断，小编也很惊讶。
以上就是有关最小割的所有内容，欢迎评论区讨论吧！

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～~~开玩笑的~~～～～～～～～～～～～～～～～～～

对于这个模型，我们举个栗子来理解一下

有 $n$ 个物品和两个集合 $A,B$ ，如果一个物品放入 $A$ 集合会花费 $a_i$，放入 $B$ 集合会花费 $b_i$ ；还有若干个形如 $u_i,v_i,x_i$ 限制条件，表示如果$u_i$ 和 $v_i$ 同时不在一个集合会花费$x_i$。每个物品必须且只能属于一个集合，求最小的代价。

这是一个经典的二者选其一的最小割题目,解法相信大家都知道。我们设置源点 $S$和汇点$T$ ，第 $i$ 个点由 $S$ 连一条容量为 $a_i$ 的边、向 $T$ 连一条容量为$b_i$ 的边。对于限制条件 $u_i,v_i,x_i$，我们在$u_i,v_i$ 之间连容量为 $x_i$ 的双向边。
如果用刚刚那个公式理解的话。先不考虑物品间的影响，$w_i=0$可以认为物品在A中，这时候答案加了$a_i$，正好对应$w_S-w_i=1$答案加了$a_i$；$w_i=1$时同理。
再来考虑物品间的影响，发现如果两个物品不在同一个集合的话，$w_i$是不同的，又因为连的是双向边，因此答案会加$x_i$

个人感觉相比一条条看哪条边被割，这种理解方式更简单，不容易出错
只要定好了$w_i$的意义，根据题面的要求连边，一些题目还是很简单的，比如这题/cy

回到这道题，通过上述例子，相信大家已经对这个模型有所了解，这道题可以说是这个模型的入门题
我们定两类点：团队点和个人点。$w_i=1$代表合作。
然后连边就好了，是不是很简单/yiw
唯一有点意思的就是如何限制团队点和个人点的关系，我们发现团队点的$w$值一定小于个人点，因此我们可以将团队点向个人点连流量为无限大的边，这道题就做完了

我们发现一个小技巧：我们如果想让$w_i<=w_j$，只要$i$向$j$连一条流量无限大的边即可

code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#define int long long
using namespace std;
inline int read () {
    int x = 0, f = 1, ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -f; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return x * f;
}
const int N=16005;
int n,m,head[N],k=1,dep[N],S,T,o=(1<<30);
struct Node{
    int nex,to,w;
}e[N*50];
void add(int u,int v,int w){
    e[++k].to=v;
    e[k].nex=head[u];
    e[k].w=w;
    head[u]=k;
}
void ad(int u,int v,int w){
    add(u,v,w);add(v,u,0);
}
queue<int> q;
bool bfs(){
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	q.push(S);
	dep[S]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for (int i=head[u];i;i=e[i].nex){
			int v=e[i].to;
			if(e[i].w&&!dep[v]){
				dep[v]=dep[u]+1;
				q.push(v);
			}
		} 
	}
	if(dep[T]) return 1;
	return 0;
}
int dfs(int u,int in){
	if(u==T) return in;
	int out=0;
	for (int i=head[u];i;i=e[i].nex){
		int v=e[i].to;
		if(e[i].w&&dep[v]==dep[u]+1){
			int res=dfs(v,min(in,e[i].w));
			in-=res;
			out+=res;
			e[i].w-=res;
			e[i^1].w+=res;
		}
	}
	if(out==0) dep[u]=0;
	return out;
}
int team(int i){
    return (i+1)/2+2*n;
}
signed main (){
    // freopen("in.in", "r", stdin);
    // freopen("out.out", "w", stdout);
    n=read();m=read();
    S=3*n+1;T=S+1;
    for (int i=1;i<=2*n;i++){
        int c=read(),d=read(),e=read();
        if(i&1) ad(i,i+1,e);
        else ad(i,i-1,e);
        ad(S,i,d);ad(i,T,c);
        ad(team(i),i,o);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int A=read(),B=read(),a=read(),b=read();
        ad(B,team(A),a);
        ad(team(B),A,b);
    }
    int ans=0;
    while(bfs()) ans+=dfs(S,o);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

咕着，遇到好题再更

posted @ 2022-03-24 19:35 April_lie 阅读(120) 评论(5) 收藏举报

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例题1：【模板】最小割

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