判断一个坐标点是否在不规则多边形内部的算法

参考:https://wrf.ecse.rpi.edu//Research/Short_Notes/pnpoly.html

在GIS(地理信息管理系统)中,判断一个坐标是否在多边形内部是个经常要遇到的问题。乍听起来还挺复杂。根据W. Randolph Franklin 提出的PNPoly算法,只需区区几行代码就解决了这个问题。

假设多边形的坐标存放在一个数组里,首先我们需要取得该数组在横坐标和纵坐标的最大值和最小值,根据这四个点算出一个四边型,首先判断目标坐标点是否在这个四边型之内,如果在这个四边型之外,那可以跳过后面较为复杂的计算,直接返回false。

if (p.x < minX || p.x > maxX || p.y < minY || p.y > maxY) {

     // 这个测试都过不了。。。直接返回false;

}

接下来是核心算法部分:

int pnpoly(int nvert, float *vertx, float *verty, float testx, float testy)
{
  int i, j, c = 0;
  for (i = 0, j = nvert-1; i < nvert; j = i++) {
    if ( ((verty[i]>testy) != (verty[j]>testy)) &&
	 (testx < (vertx[j]-vertx[i]) * (testy-verty[i]) / (verty[j]-verty[i]) + vertx[i]) )
       c = !c;
  }
  return c;
}

 

ArgumentMeaning
nvert Number of vertices in the polygon. Whether to repeat the first vertex at the end is discussed below.
vertx, verty Arrays containing the x- and y-coordinates of the polygon's vertices.
testx, testy X- and y-coordinate of the test point.

额,代码就这么简单,但到底啥意思呢:

首先,参数nvert 代表多边形有几个点。浮点数testx, testy代表待测试点的横坐标和纵坐标,*vertx,*verty分别指向储存多边形横纵坐标数组的首地址。

我们注意到,每次计算都涉及到相邻的两个点和待测试点,然后考虑两个问题:

1. 被测试点的纵坐标testy是否在本次循环所测试的两个相邻点纵坐标范围之内?即

verty[i] <testy < verty[j]

或者

verty[j] <testy < verty[i]

2. 待测点test是否在i,j两点之间的连线之下?看不懂后半短if statement的朋友请自行在纸上写下i,j两点间的斜率公式,要用到一点初中解析几何和不等式的知识范畴,对广大码农来说小菜一碟。

然后每次这两个条件同时满足的时候我们把返回的布尔量取反。

可这到底是啥意思啊?

这个表达式的意思是说,随便画个多边形,随便定一个点,然后通过这个点水平划一条线,先数数看这条横线和多边形的边相交几次,(或者说先排除那些不相交的边,第一个判断条件),然后再数这条横线穿越多边形的次数是否为奇数,如果是奇数,那么该点在多边形内,如果是偶数,则在多边形外。详细的数学证明这里就不做了,不过读者可以自行画多边形进行验证。

 

 

判断一个点是否在多边形内部 - 射线法思路

比如说,我就随便涂了一个多边形和一个点,现在我要给出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部(别告诉我用肉眼观察……)。

这里写图片描述

首先想到的一个解法是从这个点做一条射线,计算它跟多边形边界的交点个数,如果交点个数为奇数,那么点在多边形内部,否则点在多边形外。

这里写图片描述

这个结论很简单,那它是怎么来的?下面就简单讲解一下。

首先,对于平面内任意闭合曲线,我们都可以直观地认为,曲线把平面分割成了内、外两部分,其中“内”就是我们所谓的多边形区域。

这里写图片描述

基于这一认识,对于平面内任意一条直线,我们可以得出下面这些结论:

直线穿越多边形边界时,有且只有两种情况:进入多边形或穿出多边形。 
在不考虑非欧空间的情况下,直线不可能从内部再次进入多边形,或从外部再次穿出多边形,即连续两次穿越边界的情况必然成对。 
直线可以无限延伸,而闭合曲线包围的区域是有限的,因此最后一次穿越多边形边界,一定是穿出多边形,到达外部。 
这里写图片描述

现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线,还可以得出下面两条结论:

如果点在多边形内部,射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。 
如果点在多边形外部,射线第一次穿越边界一定是进入多边形。 
这里写图片描述

把上面这些结论综合起来,我们可以归纳出:

当射线穿越多边形边界的次数为偶数时,所有第偶数次(包括最后一次)穿越都是穿出,因此所有第奇数次(包括第一次)穿越为穿入,由此可推断点在多边形外部。 enter image description here 
当射线穿越多边形边界的次数为奇数时,所有第奇数次(包括第一次和最后一次)穿越都是穿出,由此可推断点在多边形内部。 

enter image description here 
到这里,我们已经了解了这个解法的思路,大家可以试着自己写一个实现出来。


不知道大家思考得怎么样,有没有遇到一些不好处理的特殊情况。今天就来讲讲射线法在实际应用中的一些问题和解决方案。

1点在多边形的边上

前面我们讲到,射线法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数。那么对于点在多边形的边上这种特殊情况,射线出发的这一次,是否应该算作穿越呢?

enter image description here

看了上面的图就会发现,不管算不算穿越,都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点,可能会得到相反的结果。这显然是不正确的,因此对这种特殊情况需要特殊处理。

2点和多边形的顶点重合

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这其实是第一种情况的一个特例。

3射线经过多边形顶点

射线刚好经过多边形顶点的时候,应该算一次还是两次穿越?这种情况比前两种复杂,也是实现中的难点,后面会讲解它的解决方案。

enter image description here

4射线刚好经过多边形的一条边

这是上一种情况的特例,也就是说,射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。

enter image description here

解决方案:

1判断点是否在线上的方法有很多,比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等,中学数学都学过。

2点和多边形顶点重合的情况更简单,直接比较点的坐标就行了。

3顶点穿越看似棘手,其实我们换一个角度,思路会大不相同。先来回答一个问题,射线穿越一条线段需要什么前提条件?没错,就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点,顶点穿越就迎刃而解了。这样一来,我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。

enter image description here

如上图,假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧,显然点D和发生顶点穿越的点C都位于射线Y的同一侧,所以射线Y其实并没有穿越CD这条边。而点C和点B则分别位于射线Y的两侧,所以射线Y和BC发生了穿越,由此我们可以断定点Y在多边形内。同理,射线X分别与AD和CD都发生了穿越,因此点X在多边形外,而射线Z没有和多边形发生穿越,点Z位于多边形外。

解决了第三点,这一点就毫无难度了。根据上面的假设,射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧,因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例,因此不需要再做特别的处理。

 

posted @ 2017-09-23 16:16 CodingIsBeautiful 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏