BZOJ4182. Shopping

【题意】

给定一个树，每个点是一个商店，有di个物品，体积为ci，价值为wi，现有m元，求树上的一条链，使得链上的点都买了至少一个，使得总价值最大

【分析】

首先不考虑树上的链，那么问题就是转换为了普通的多重背包问题

现在考虑如何计算所有链的情况，显然直接枚举的总时间复杂度为$O(n^3m)$无法接受

一般这种树上的路径/点对的问题都可以考虑使用点分治来解决

我们考虑每次只计算子树到当前分治中心这一段的价值，然后考虑合并即可

也就是每次把重心作为必选的节点

这样做的时间复杂度就优化为了O(nmlogn)

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=505;
const int maxm=5005;
int n,m,head[maxn],tot;
int w[maxn],c[maxn],d[maxn];
struct edge
{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];
void add(int x,int y)
{
    e[++tot].to=y; e[tot].nxt=head[x]; head[x]=tot;
}
int root,size,gsiz,siz[maxn],vis[maxn];
void findrt(int u,int fa)
{
    int maxsiz=0; siz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa || vis[to]) continue;
        findrt(to,u);
        siz[u]+=siz[to];
        maxsiz=max(maxsiz,siz[to]);
    }
    maxsiz=max(maxsiz,size-siz[u]);
    if(maxsiz<gsiz)
    {
        gsiz=maxsiz;
        root=u;
    }
}
int dfn[maxn],dfstime,rev[maxn];
void dfs(int u,int fa=0)
{
    siz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==fa || vis[to]) continue;
        dfs(to,u);
        siz[u]+=siz[to];
    }
    dfn[u]=++dfstime;
    rev[dfstime]=u;
}
int f[maxn][maxm],pos[maxm],q[maxm];
int ans;
void work(int u)
{
    dfstime=0; dfs(u);
    for(int i=1;i<=dfstime;i++)
    {
        int x=rev[i],head,tail;
        for(int j=0;j<c[x];j++)
        {
            head=1,tail=0;
            int gs=(m-j)/c[x];
            for(int k=0;k<=gs;k++)
            {
                int v=k*c[x]+j,y=f[i-1][v]-k*w[x];
                while(head<=tail && pos[head]<k-d[x]) head++;
                if(head<=tail) f[i][v]=max(q[head]+k*w[x],f[i-siz[x]][v]);
                else f[i][v]=f[i-siz[x]][v];
                while(head<=tail && y>=q[tail]) tail--;
                q[++tail]=y; pos[tail]=k;
            }
        }
    }
    ans=max(ans,f[dfstime][m]);
}
void solve(int u)
{
    vis[u]=1;
    work(u);
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int to=e[i].to;
        if(vis[to]) continue;
        gsiz=size=siz[to];
        root=u;
        findrt(to,u);
        solve(root);
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        tot=ans=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y); add(y,x);
        }  
        // return 0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        size=gsiz=n; root=0;
        findrt(1,0);
        // return 0;
        solve(root);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}