摘要：在做回归时，很多时候会有$\text(x_t \varepsilon_t)\neq 0$的情况，这也意味着不满足外生性条件$\text(\varepsilon|X)=0$，此时的OLS估计量$\hat\beta$就不再满足无偏性，并且随着$n$的变大，它的bias也无法变小。若对此无法理解，请先掌握 阅读全文

摘要：接触过资产定价的同学可能知道，资产定价有一个核心公式$p=\text(mx)$，它的内涵十分丰富。本文将从Consumption-based model出发，详解该公式的由来，并以它为视角，介绍金融理论中的一些问题。 1 定价方程 1.1 基本的定价方程 假设有一笔在$t+1$时刻的payoff为$ 阅读全文

摘要：在有些时候，直接计算随机变量的方差非常麻烦，此时可以用方差分解公式，将方差分解为条件期望的方差加条件方差的期望： \[ \text{Var}(X)=\text{Var}[\text{E}(X|Y)]+\text{E}[\text{Var}(X|Y)] \] 证明非常简单，注意到 \[ \begin{ 阅读全文

摘要：在应用中，经常会碰到需要对某个矩阵的行列式进行求导的情况。而行列式的计算方法比较复杂，如果将它展开成后计算，会比较麻烦，因此最好直接记住一些结论。 本文以计算$\dfrac{\partial |A|}{\partial A}\(和\)\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial 阅读全文

摘要：1 几乎必然收敛的概念 几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛（convergence with probability 1），定义为：随机变量序列${X_n}$满足 \[ \mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1 阅读全文

摘要：本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy一书。 1 正态分布的条件分布 对于联合正态分布变量$x\sim N(\mu,\Sigma)\(，定义精度矩阵（the p 阅读全文

摘要：在本科阶段的教材中，往往会有多元正态分布的公式出现，但课堂上都不会重点讲解，而在研究生入学考试中也基本不会考。但在实际应用中，多元的情况却非常常见。 本文通过对多元正态分布的公式进行拆解，来正式认识一下它。 1 多元正态分布公式 对于$D$维正态分布变量$x$，直接上它的密度公式： \[ \math 阅读全文

摘要：在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。 1 矩母函数法 定理 已知$X_1,\ldots,X_n$为独立的随机变量，各种的矩母函数为$M_1,\ldots,M_n$，$a_1,\ldots,a_n$为常数，则$Y=\sum_^a_i X_i$的矩母函数为 \[ M_Y(t)=\text{E 阅读全文

摘要：Comparing cross-section and time-series factor models 阅读全文

摘要：本文介绍几个常用的与期望有关的不等式。 1 Cauchy–Schwarz不等式 Cauchy–Schwarz不等式有许多形式，这里只介绍它的期望函数的形式。 Cauchy–Schwarz不等式： \[ [\text{E}(XY)]^2 \leq \text{E}(X^2)\text{E}(Y^2) 阅读全文

摘要：中学阶段的概率的概念，无法满足后续学习的要求，因此必须从测度论角度重新定义概率。本文整理了一些相关概念。 1 概率的公理化定义 定义 概率空间（probability space）：三元参数组$(\Omega, \mathcal, \mathbf)$定义了一个概率空间。 其中$\Omega$是样本空 阅读全文