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数学基础

数学基础

一些基础知识。

目录

因式

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
推导 \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3\)

几何

平面几何

圆

半径为 \(r\) 的圆。

周长
\(L=2\pi r\)

面积
\(S=\pi r^2\)

扇形

内角为 \(\theta\) ，半径为 \(r\) 的扇形。

弧长
\(L=\theta r\)

面积
\(S=\displaystyle\frac{\theta}{2}r^2\)

立体几何

圆柱

底面半径为 \(r\) ，高为 \(h\)

体积
\(V=\pi r^2 h\)

侧面积
\(S=2\pi rh\)

圆锥

底面半径为 \(r\) ，侧边长为 \(l\) ，高为 \(h\)

体积
从锥顶到锥底用微元法积分
\(V=\int_0^h \displaystyle \pi (\frac{x}{h}r)^2\text{d}x=\frac{\pi r^2}{h^2}\frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}\pi r^2 h\)
圆锥的体积等于同高同底的圆柱的体积的三分之一。

侧面积
将圆锥侧面从侧边长线展开，一定得到一个扇形，其半径为 \(l\) ，弧长为 \(2\pi r\) ，故面积为
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\frac{2\pi r}{l}l^2=\pi rl\)
如果圆锥的底面半径和侧边长相等，则圆锥退化为一个平面的圆。

圆台

设顶圆半径为 \(a\) ，底圆半径为 \(b(b>a)\) ，高为 \(h\) ，侧边长为 \(l\)

体积
体积是底圆对应的圆锥与顶圆对应的圆锥的体积之差。
\(V=\displaystyle\frac{1}{3}\pi(b^2h_1-a^2h_2)\)
而 \(\begin{cases}h_1-h_2=h\\\displaystyle\frac{h_1}{h_2}=\frac{b}{a}\end{cases}\) ，故 \(\begin{cases}h_1=\displaystyle\frac{bh}{b-a}\\h_2=\displaystyle\frac{ah}{b-a}\end{cases}\) ，故得圆台体积为
\(V=\displaystyle\frac{\pi}{3}\frac{b^3-a^3}{b-a}h=\frac{\pi h}{3}(a^2+ab+b^2)\)
当底圆和顶圆半径相等时，圆台特殊化为圆柱，即 \(V=\displaystyle\frac{\pi h}{3}(3a^2)=\pi a^2h\)
当顶圆为一个点，即顶圆半径为 \(0\) 时，圆台特殊化为圆锥，即 \(V=\displaystyle\frac{\pi h}{3}a^2=\frac{1}{3}\pi a^2h\)

侧面积
侧面积是底圆对应的圆锥与顶圆对应的圆锥的侧面积之差。
\(S=\pi(bl_1-al_2)\)
\(\begin{cases}l_1-l_2=l\\\displaystyle\frac{l_1}{l_2}=\frac{b}{a}\end{cases}\) ，故 \(\begin{cases}l_1=\displaystyle\frac{bl}{b-a}\\l_2=\displaystyle\frac{al}{b-a}\end{cases}\) ，故圆台侧面积为
\(S=\pi \displaystyle\frac{b^2-a^2}{b-a}l=\pi(b+a)l\)
特殊化为圆柱，\(S=\pi\cdot 2al=2\pi al\)
特殊化为圆锥，\(S=\pi bl\)

球

球的半径为 \(r\)

表面积
法一，二重积分求曲面面积：
\(x^2+y^2+z^2=r^2\)
\(\displaystyle S=8\underset{A}{\iint}\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}\text{d}x\text{d}y\)
\(2x+2z\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=0\) ，\(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}\) ，同理有 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}\) ，即
\(S=8\displaystyle\underset{A}{\iint}\frac{r}{z}\text{d}x\text{d}y=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{d}\theta\int_0^r\frac{r}{\sqrt{r^2-R^2}}R\text{d}R=4\pi (-r\sqrt{r^2-R^2})|_0^r=4\pi r^2\)

法二，微元法以圆台侧面作微元求旋转体面积：
\(x^2+y^2=r^2\)
\(\displaystyle 2x+2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=0\) ，即 \(\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{x}{y}\)
\(\Delta S=\displaystyle\pi (2y+\frac{x}{y}\Delta x)\frac{r}{y}\Delta x=2\pi r\Delta x+o(\Delta x)\)
\(S=2\int_0^r 2\pi r\text{d}x=4\pi r^2\)

体积
微元法以圆柱作微元求体积：
\(\Delta V=\pi y^2\Delta x\)
\(V=2\int_0^r \pi y^2\text{d}x=2\int_0^\frac{\pi}{2}\pi r^2 \sin^2\theta \text{d}r\cos\theta=2\pi r^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3\theta\text{d}\theta=\frac{4}{3}\pi r^3\)

排列组合

排列

  • 定义：从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序称为一个排列。总的排列的个数称为排列数。
  • 计算：从 \(n\) 个元素中取出 \(k\) 个元素的排列数记为 \(A_n^k\) ，有 $$\displaystyle A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdot...\cdot (n-k+1)$$
  • 理解1：把取元素后再排列的过程看成按取元素的先后顺序形成排列的过程，第一次取的时候共有 \(n\) 种取法，第二次取的时候有 \(n-1\) 种取法，依次类推，取最后一个元素的时候有 \(n-k+1\) 种取法。
  • 理解2：取出所有的元素，共有 \(n!\) 种取法，在每一种取法中，最后取出来的 \(n-k\) 个元素所形成的排列应该被合并为一个，也即要除以 \((n-k)!\) 。
  • （例一）三张写着数字 1，2，3 的卡片总共可以排列成多少个数字？

    解：使用一张卡片，总共有 \(A_3^1=3\) 个，使用两张卡片，总共有 \(A_3^2=3\times2=6\) 个，使用三张卡片，总共有 \(A_3^3=3\times2\times1=6\) 个，因此总共可以排列成 15 个数字。

组合

  • 定义：从给定个数的元素中取出指定个数的元素，而不考虑元素的次序。总的组合个数称为组合数。
  • 计算：从 \(n\) 个元素中取出 \(k\) 个元素的组合数记为 $$\displaystyle C_nk=\frac{A_nk}{k!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$$
  • 理解1：先从 \(n\) 个元素中有序的取出 \(k\) 个元素，共 \(A_n^{k}\) 中取法，而同一组元素因为有序可以产生 \(k!\) 种取法，因此不考虑顺序的取法就是用排列数除以 \(k!\) 。
  • （例一）从三张卡片种任意取至少一张卡片，一共有多少种可能的结果？

    解：抓一张卡片，有 \(C_3^1=3\) 种，抓两张卡片，有 \(C_3^2=\frac{3\times2}{2}=3\) 种，抓三张卡片，有 \(C_3^3=\frac{3\times2\times1}{3\times2\times1}=1\) 种，故总共有 7 种可能的结果。

三角函数

基本三角函数

设直角三角形的两条直角边 \(a\)，\(b\)，斜边 \(c\)，锐角 \(\alpha\)，\(\beta\)，对边分别为 \(a\)，\(b\) 。

正弦函数：\(\displaystyle\sin\alpha=\frac{a}{c}\)

余弦函数：\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{b}{c}\)

正切函数：\(\displaystyle\tan\alpha=\frac{a}{b}\)

余切函数：\(\displaystyle\cot\alpha=\frac{b}{a}\)

正割函数：\(\displaystyle\sec\alpha=\frac{c}{b}\)

余割函数：\(\displaystyle\csc\alpha=\frac{c}{a}\)

三角函数公式

\(\displaystyle\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\)

\(\displaystyle\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\)

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\displaystyle 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}=\sec^2\alpha\)

和差化积公式：

\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)

\(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\)

\(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

\(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

积化和差公式：

\(\displaystyle \sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}\)

\(\displaystyle \cos a\sin b=\frac{\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}\)

\(\displaystyle \cos a\cos b=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}\)

\(\displaystyle \sin a\sin b=\frac{-\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}\)

双曲线

双曲线的定义
距离两点（焦点）距离之差的绝对值为一个常数的点的轨迹。
记两个点分别为 \((-c,0),(c,0),c>0\) ，距离之差的绝对值为 \(2a,a>0\) ，则
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\plusmn 2a\)
\((x+c)^2+y^2=4a^2\plusmn 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)
\(xc-a^2=\plusmn a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)
\(x^2c^2-2xca^2+a^4=a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)\)
\(x^2c^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\)
\(x^2(c^2-a^2)-y^2a^2=a^2(c^2-a^2)\)
由于三角形两边之差一定小于第三条边，即 \(a<c\) ，
记 \(b^2=c^2-a^2 (b>0)\) ，
\(x^2b^2-y^2a^2=a^2b^2\)
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

双曲线的公式
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

设双曲线的一个焦点为 \((c,0),c>0\) ，则 \(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

双曲线的渐近线为
\(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\)

双曲线的反射性质
从焦点发出的光经这一侧双曲线反射后的光，看起来就像从另一侧焦点发出来一样。
记双曲线上一点为 \(O(x,y),x>0,y>0\) ，两个焦点分别为 \(A(-c,0),B(c,0),c>0\) ，则 \(\overrightarrow{AO}=(x+c,y)\) ，\(\overrightarrow{BO}=(x-c,y)\) ，设一个方向向量为 \(\boldsymbol{k}=(1,c)\) ，
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{|x+c+yc|}{|\overrightarrow{AO}||\boldsymbol{k}|}\) ，\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{|x-c+yc|}{|\overrightarrow{BO}||\boldsymbol{k}|}\)
对双曲线公式求导，得 \(\displaystyle\frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}=0\) ，而 \(y'=c\) ，即
\(yc=\displaystyle\frac{b^2}{a^2}x\)
不妨假设 \(\theta=\alpha\) ，即
\(\displaystyle\frac{(x+c+\frac{b^2}{a^2}x)^2}{(x+c)^2+y^2}=\frac{(x-c+\frac{b^2}{a^2}x)^2}{(x-c)^2+y^2}\)
未完待续...

对数

对数是指数的逆运算。

\(a^x=b \Leftrightarrow x=\log_a b\)
\(a>0,a\not =1\)

对数的常用公式

\(\log_a a^x=x\)
证：设 \(a^x=b\) ，则由对数定义有 \(x=\log_ab=\log_aa^x\) 。

\(\log_ab^t=t\log_ab\)
证：记 \(m=\log_ab\) ，则 \(b=a^m\) ，则 \(b^t=a^{mt}\) ，\(\log_ab^t=\log_aa^{mt}=mt=t\log_ab\)

\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
证：记 \(\log_ax=m\) ，\(\log_ay=n\) ，则 \(\log_ax+\log_ay=m+n,x=a^m,y=a^n\) ，\(\log_a xy=\log_a a^ma^n=m+n\) 。

\(\displaystyle \log_ab=\frac{\log_c b}{\log_c a}\)
证：设 \(\log_cb=m,\log_ca=n,\log_ab=t\) ，则 \(b=c^m,a=c^n,b=a^t\) ，对 \(b=a^t\) 同时替换 \(a,b\) ，则有 \(c^m=c^{nt}\) ，即 \(m=nt\) ，得证。

posted on 2020-12-22 22:06  amazzzzzing  阅读(504)  评论(0)    收藏  举报