概率论 - 常用分布

概率论 - 常用分布

目录

• 概率论 - 常用分布
  • 1 离散型随机变量分布
    • 1.1 0-1分布
    • 1.2 二项分布
    • 1.3 几何分布
    • 1.4 柏松分布
  • 2 连续型随机变量的分布
    • 2.1 均匀分布
    • 2.2 指数分布
    • 2.3 正态分布

1 离散型随机变量分布

1.1 0-1分布

• 抛一次硬币的结果即服从0-1分布

• \(P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}\) ，\(k=0,1\)

• \(E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}p_kx_k=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p\)

• \(D(X)=E([X-E(X)]^2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infin}(x_k-E(X))^2p_k=(1-p)^2\cdot p+(-p)^2(1-p)=p-p^2=p(1-p)\)

1.2 二项分布

• \(n\) 重伯努利试验的成功的次数分布为二项分布。
• \(P(X=k)=\text{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)
• \(E(X)=np\) （从 \(n\) 重伯努利试验的角度理解，\(E(X)=E(X_1+X_2+,,,+X_n)\)）
• \(D(X)=np(1-p)\)

1.3 几何分布

• \(n\) 重伯努利试验中，第 \(k\) 次才成功的分布为几何分布。
• \(P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\)
• \(E(X)=\frac{1}{p}\)
• \(D(X)=\frac{1-p}{p^2}\)

1.4 柏松分布

• 取 \(np=\lambda\) ，\(\text{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=\frac{n\cdot (n-1)...(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}(1\cdot (1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n}))\) ，
  而 \(\lim\limits_{n\to \infin}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=\lim\limits_{n\to \infin}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}=e^{-\lambda}\)
  故 \(\lim\limits_{n\to \infin} \text{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\)
  这个极限称为柏松极限。
• \(P(X=k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} (k\ge 0)\) 称为柏松分布。
• 从泊松极限的推导可以看出，柏松分布描述了当二项分布的期望是一个常数时，重复无限多次试验时事件发生的次数。
• \(E(X)=\lambda\)
• \(D(X)=\lambda\)

2 连续型随机变量的分布

2.1 均匀分布

• \(f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & 其它 \end{cases}\)
• \(E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}xf(x)\text{d}x=\int_{a}^{b}x\frac{1}{b-a}\text{d}x=\frac{a+b}{2}\)
• \(D(X)=E([X-E(X)]^2)=\int_{a}^b[x-E(X)]^2f(x)\text{d}x=\int_a^b(x-\frac{a+b}{2})^2\cdot \frac{1}{b-a}\text{d}x=\int_{\frac{a-b}{2}}^{\frac{b-a}{2}}t^2\cdot \frac{1}{b-a}\text{d}t=\frac{1}{3}\cdot \frac{2(b-a)^3}{8}\cdot \frac{1}{b-a}=\frac{(b-a)^2}{12}\) 。（之所以写出来是因为积分老算错）

2.2 指数分布

• \(f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0\\ 0, & 其它 \end{cases}\)

• \(F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\frac{x}{\theta}},& x>0\\ 0，& 其它 \end{cases}\)

• \(E(X)=\int_{-\infin}^{\infin}xf(x)\text{d}x=\int_{0}^{\infin}x\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\text{d}x=(\theta e^{-\frac{x}{\theta}}-xe^{-\frac{x}{\theta}})|_{x=0}^{\infin}=\theta\) 。

• \(D(X)=E(X^2)-E^2(x)=\int_{0}^{\infin}x^2\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\text{d}x-\theta^2=(-\frac{x^2}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}-2\theta xe^{-\frac{x}{\theta}}-2\theta^2e^{-\frac{x}{\theta}})|_{x=0}^{\infin}-\theta ^2=\theta^2\) 。

2.3 正态分布

• \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
• \(E(X)=\mu\)
• \(D(X)=\sigma^2\)