线性代数 - 行列式
线性代数 - 行列式
行列式相关知识点。
逆序数
-
对元素规定一个标准次序,在元素的一个排列中,某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序。一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列,否则称为偶排列。
-
将排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。
-
奇排列变换称标准排列需要进行奇数次对换,偶排列变换成标准排列需要进行偶数次对换。
行列式定义
-
对数表:
\(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{matrix}\)
形如 \((-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\) ,其中 \(p_1p_2...p_n\) 为 \(1,2...n\) 的一个排列,\(t\) 为这个排列的逆序数,则所有 \(n!\) 个排列的称为 \(n\) 阶行列式:\(\displaystyle\sum^{n!}(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\) 。
-
行列式的等价形式 \(\displaystyle\sum^{n!}(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\displaystyle\sum^{n!}(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}\) 。
行列式运算(性质)
-
\(|\boldsymbol{A}^T|=|\boldsymbol{A}|\)
-
任意交换行列式的两行(或两列),行列式变号。
-
\(k\) 乘行列式等于 \(k\) 乘行列式的某一行(或某一列)。
-
将某一行(或某一列) \(k\) 乘并加到另一行(或另一列)上,行列式的值不变。
-
若行列式的两行(或两列)成比例,则行列式的值为0 。
-
若行列式的某行(或某列)全为0,则行列式的值为0 。
-
(按行/列拆分)
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...\\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & ... & a_{in}+b_{in}\\ ...\\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}\) \(=\) \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...\\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\ ...\\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}\) \(+\) \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...\\ b_{i1} & b_{i2} & ... & b_{in}\\ ...\\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}\) -
\(\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix}\) \(=\) \(|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\)
-
\(\begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{vmatrix}\) \(=\) \((-1)^{mn}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\)
代数余子式
-
对于 \(n\) 阶行列式 \(D\) ,划去 \(a_{ij}\) 所在的行和列后,留下来的 \(n-1\) 阶行列式称为 \(a_{ij}\) 的余子式,记为 \(M_{ij}\) 。称 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 对应的代数余子式。
-
(行列式按行/列展开)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即 \(B=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}\) (按列展开)或者 \(B=\displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}\) (按行展开)
-
行列式的某一行(列)各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式之积的和为 \(0\) 。
posted on 2020-11-15 00:06 amazzzzzing 阅读(1173) 评论(0) 收藏 举报