高等数学 - 积分与极坐标

高等数学 - 积分与极坐标

积分的极坐标形式以及极坐标形式的网格划分适合解决特定问题。

目录

• 高等数学 - 积分与极坐标
  • 1 极坐标形式
  • 2 网格形式

1 极坐标形式

• \(\rho=\rho(\theta)\)

  • \(\Delta l=\sqrt{\Delta \rho^2 + (\rho\Delta \theta)^2}=\sqrt{(\rho'\Delta\theta)^2+(\rho\Delta \theta)^2}=\sqrt{\rho'^2+\rho^2}\Delta \theta\) 。

  • \(\Delta S=\frac{1}{2}\rho\rho\Delta\theta=\frac{1}{2}\rho^2\Delta\theta\) 。

  • 例：求 \(\rho=1,(0\le\theta<2\pi)\) 的长度和所围图形的面积。

    分析：\(L=\int_0^{2\pi}\text{d}l=\int_0^{2\pi}\sqrt{0+1}\text{d}\theta=2\pi\) 。
    \(S=\int_0^{2\pi}\text{d}S=\frac{1}{2}\times1\times2\pi=\pi\) 。

2 网格形式

• 对 \(\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta \end{cases}\)

  • 记扇形顶角为 \(\theta\) ，则扇形面积为 \(S=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^2=\frac{1}{2}\theta r^2\) ，故 \(\text{d}S=\theta r \text{d}r\) 。
  • \(\Delta S=\rho\text{d}\rho\text{d}\theta\)
  • 例：求圆 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 的面积。

    分析：划分网格 \(\begin{cases}x=a+\rho\cos\theta\\y=b+\rho\sin\theta\end{cases}\) 。\(S=\int_0^{2\pi}\int_0^{r}\rho\text{d}\rho\text{d}\theta=2\pi\times \frac{1}{2}r^2=\pi r^2\) 。

• 球面网格：记空间点为 \(M(x,y,z)\) ，原点为 \(O\) ，\(\overrightarrow{OM}\) 与 \(z\) 轴正向夹角为 \(\varphi\) ，\(\overrightarrow{OM}\) 在 \(xoy\) 平面上的投影与 \(x\) 轴正向的夹角为 \(\theta\) ，即有 \(\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta \\ y=r\sin\varphi\sin\theta \\ z=r\cos\varphi \end{cases}\)

  • \(\text{d}V=r\sin\varphi\text{d}\theta\cdot r\text{d}\varphi \cdot \text{d}r=r^2\sin\varphi\text{d}\varphi\text{d}\theta\text{d}r\) 。

  • 例：求球的体积。

    解：设半径为 \(r\) ，则 \(V=\int_{0}^r\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}r^2\sin\varphi\text{d}\varphi\text{d}\theta\text{d}r=\frac{4}{3}r^3\) 。