09-线性相关性、基、维数

一、线性相关性

　给定一些向量，那么如何判断他们是否是线性相关？（也就是存在非全0系数，使得系数与向量相乘加和结果为0向量）

　如果我们可以找到一些系数，使得这些系数乘以相应的向量，然后加和结果可以得到零向量，则这些向量就是线性相关的，但这些系数不能全是0

　对于矩阵中的列向量而言：

　　对于矩阵$A$中的列向量$v_1,v_2,v_3,...,v_n$，如果它们是无关的，$A$的零空间中只有零向量，此时$A$的秩=n，不存在自由变量

　　反之，对于$AC = 0$，零空间中存在非零向量c，$A$的秩<n，存在自由变量

 

二、向量组生成一个空间

　其实之前矩阵的列空间已经讲过，矩阵的各个列向量的线性组合组成列空间，所以我们可以说矩阵的（各列）列向量生成列空间

　对于向量$v_1, v_2, ... , v_l$生成一个空间指：这个空间包含$v_1, v_2, ... ,v_l$的所有线性组合

 

三、基

　向量空间的一组基：

　　指一系列的向量$v_1, ... ,v_d$，有两大性质：(1)$v_1, ... ,v_d$线性无关；(2)$v_1, ... ,v_d生成一个空间

　如请给我一个三维空间的基：

$\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]$

令一组基：

$\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{2} \\ {2} \\ {5}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{3} \\ {4} \\ {8}\end{array}\right]$

他们都线性无关，并且能生成一个三维空间

 

四、维数

　空间中的维数：表示基的向量的个数

　零空间的维数为n-r(矩阵A的列减去矩阵的秩，即其自由变量的个数)

　矩阵A的秩的值是其空间、子空间、列空间的维数