07-求解Ax=0：主变量、特解

一、定义转向算法

　在第六节讲了空间，列空间，零空间的定义，这节主要讲解如何求出这些空间，即求解$Ax=0$的过程是怎么样的过程，以下面的矩阵$A$为例：（这里主要是长方阵）

$A=\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6} & {8} \\ {3} & {6} & {8} & {10}\end{array}\right]$

仔细观察上面的矩阵就会发现行列之间的关系：第二列是第一列的2倍，第三行是前两行的和

 

　1）消元：零空间不会变，因为方程解不变

　　第一阶段（找到第一个主元）：$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {0} & {0} & {2} & {4} \\ {0} & {0} & {2} & {4}\end{array}\right]$

第二阶段（找第二个主元，发现是0，也无法通过后面的行交换来使得该位置不为0，我们就将0后面的2当作主元，继续对下面的行消元）

$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {0} & {0} & {2} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]=U$

 

　　综上：我们已经找到了两个主元1和2，这里我们知道主元的数量是2，所以矩阵的秩就是2，矩阵的秩(rank)即为矩阵的主元数量

　　我们原本要求$Ax=0$，现在经过消元，方程解不变，现在只需要求$Ux=0$

 

　2）主列和自由列

　　主元所在的列为主列（如第一列和第三列），另外的是自由列（如第二列和第四列），所谓自由列就是我们可以任意分配其对应的未知变量的系数，如$x_2=1, x_4=0$

 

$x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=0$
$2 x_{3}+4 x_{4}=0$

则方程解为：$x=\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$

当然也存在下面的解：$x=C\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$

 

　　我们说过，自由列的存在使得我们可以为自由变量随意分配值，所以当然$x_2=0, x_4=1$也是可以的：

则方程解为：$x=\left[\begin{array}{c}{2} \\ {0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]$

当然也存在下面的解：$x=d\left[\begin{array}{c}{2} \\ {0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]$

 

有了上面两个特定解，我们就可以求出所有x，即矩阵的零空间：$x=C\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right] + d\left[\begin{array}{c}{2} \\ {0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]$

所以矩阵的零向量就是特定解的线性组合

 

 

零空间的求法：对矩阵A进行消元求得主变量和自由变量；给自由变量赋值得到特解；对特解进行线性组合得到零空间

 

　3）简化U：下面我们将会简化U来得到R

　　简化的过程：从U出发，将主元上下全变为0，即$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {2} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$，然后将主元变为1即得到简化行阶梯形式R

$\left[\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]=R$

从上面的过程看出，全0的行是其他行的线性组合（行一减去行二，行二除以2）

　　整个过程从求解$Ax=0$，消元变为$Ux=0$，简化变为$Rx=0$，熟悉了整个过程，Matlab中很容易实现这个过程$R = rref(A)$

 

　　上面的过程如下所示：

$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6} & {8} \\ {3} & {6} & {8} & {10}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {0} & {0} & {2} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$

 二、换一个角度

　上面我们从数值解的角度描述了矩阵零空间的求法，下面从公式角度分析：

　上面我们经过消元得到了最简形式R。我们将R经过列变换得到如下矩阵（交换二三列）：

$\bar{R}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {1} & {0} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$

　同时，我们可以对方程式作如下变形：

$x=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right]$

$\bar{x}=\left[x_{1}, x_{3}, x_{2}, x_{4}\right]$

　方程的解不会发生变化，只是顺序变了，我们将$\bar{R}$划分区域：

$I_{2 \times 2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right], F_{2 \times 2}=\left[\begin{array}{cc}{2} & {-2} \\ {0} & {2}\end{array}\right]$

　所以$\bar{R}$将变为：

$\bar{R}=\left[\begin{array}{cc}{I_{2 \times 2}} & {F_{2 \times 2}} \\ {0_{1 \times 1}} & {0_{1 \times 1}}\end{array}\right]$

　最终解方程变成了：

$R x=0 \rightarrow \bar{R} \bar{x}=0$

　代入方程得到零空间：

$\bar{R} \bar{x}=0_{3 \times 1} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}{I_{2 \times 2}} & {F_{2 \times 2}} \\ {0_{1 \times 1}} & {0_{1 \times 1}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{-F_{2 \times 2}} \\ {I_{2 \times 2}}\end{array}\right]=-I_{2 \times 2} F_{2 \times 2}+F_{2 \times 2} I_{2 \times 2}=0$

$\rightarrow \bar{x}=\left[\begin{array}{c}{-F_{2 \times 2}} \\ {I_{2 \times 2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-2} & {2} \\ {0} & {-2} \\ {1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

　我们再将$x_2,x_3$进行位置互换：

$x=\left[\begin{array}{cc}{-2} & {2} \\ {1} & {0} \\ {0} & {-2} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

这两个特解与之前我们求得的特解一致

 

三、实例练习

　有一矩阵$A$：

$A=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {2} & {4} & {6} \\ {2} & {6} & {8} \\ {2} & {8} & {10}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {2} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$

这样矩阵$A$就经过$U$变成了$R$

　由于$R$本来就具有很好的形式，就不用进行列变换了：

$I_{2 \times 2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right], F_{2 \times 1}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right]$

$R_{4 \times 3}=\left[\begin{array}{ll}{I_{2 \times 2}} & {F_{2 \times 1}} \\ {0_{2 \times 2}} & {0_{2 \times 1}}\end{array}\right]$

 

$R_{4 \times 3} x_{3 \times 1}=0_{4 \times 1} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}{I_{2 \times 2}} & {F_{2 \times 1}} \\ {0_{2 \times 2}} & {0_{2 \times 1}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{-F_{2 \times 1}} \\ {I_{1 \times 1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-I_{2 \times 2} F_{2 \times 1}+F_{2 \times 1} I_{1 \times 1}=0_{2 \times 1}} \\ {0_{2 \times 1}}\end{array}\right]$

 

　所以：

$x_{3 \times 1}=\left[\begin{array}{c}{-F_{2 \times 1}} \\ {I_{1 \times 1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right]$

 

　注：最简矩阵R和零空间矩阵x在MATLAB中可以分别用命令rref(A)，null(A,'r')得到

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