用位运算快速分解整数：从 LeetCode 2438 题谈起

用位运算快速分解整数：从 LeetCode 2438 题谈起

在解决 LeetCode 2438 题（二的幂数组中查询范围内的乘积）时，核心步骤之一是将正整数n分解为若干不同的 2 的幂之和，并存储到数组powers中。这个过程看似简单，但其高效实现依赖于位运算的一个关键技巧 ——lowbit运算。

一、问题核心：分解 n 为 2 的幂数组

任何正整数n都能唯一表示为若干不同 2 的幂之和（二进制的基本性质）。例如n=15的二进制为1111，对应1+2+4+8（即2^0+2^1+2^2+2^3），因此powers=[1,2,4,8]。

二、高效分解工具：lowbit 运算

lowbit(x)的定义是：x 的二进制中最低位的 1 所对应的数值。例如x=14（二进制1110），最低位 1 对应 2，因此lowbit(14)=2。

通过lowbit分解n的步骤：

1. 初始化空数组powers；
2. 当n>0时，重复：
   • 用lowbit = n & -n计算当前最低位 1 对应的数值；
   • 将lowbit加入powers；
   • 用n = n ^ lowbit（或n -= lowbit）移除已提取的 1，继续提取更高位的 1；
3. 直到n=0，powers即为分解结果。

示例：分解n=15

• 第一次提取：lowbit(15)=1，powers=[1]，n=14；
• 第二次提取：lowbit(14)=2，powers=[1,2]，n=12；
• 第三次提取：lowbit(12)=4，powers=[1,2,4]，n=8；
• 第四次提取：lowbit(8)=8，powers=[1,2,4,8]，n=0。

三、关键位运算原理：为什么n & -n能求 lowbit？

这涉及计算机中负数的表示方式（补码）：

• 负数-x的补码 = ~x + 1（~x为按位取反，即翻转 x 的每一位二进制）；
• 因此n & -n的结果恰好保留了n二进制中最低位的 1，其余位为 0，即lowbit。

例如n=12（二进制1100）：

• -12的补码为~12 + 1 = 0011 + 1 = 0100；
• 12 & -12 = 1100 & 0100 = 0100（即4，正是lowbit）。

四、总结

利用lowbit运算分解n为 2 的幂数组，时间复杂度仅为O(log n)（取决于n的二进制位数），是解决此类问题的高效方案。这一技巧不仅适用于本题，还广泛应用于树状数组、二进制分析等场景，是位运算中值得掌握的核心工具。