P10833 [COTS 2023] 下 Niz 题解

P10833 [COTS 2023] 下 Niz

给定长度为 \(N\) 的序列 \(a\)，求满足以下条件的 \((l,r)\) 对数：

• \(1\le l\le r\le N\)；

• \(a_l,a_{l+1},\cdots,a_{r-1},a_r\) 是 \(1\sim r-l+1\) 的排列。

• \(1\le N\le 10^6\)；\(1\le a_i\le N\)。

思路

首先，“排列”本身这个性质是很强的。因为排列本身需要从1开始，因此排列的数目必定不会很多。
同时，只要我们知道了排列中最大的数，我们就知道了这个排列的长度。

因此考虑去找区间中最大的数，然后去枚举区间的范围。在这个区间中，我们其实就将问题转化为了区间内的数的种类。只不过这里种类必须为区间长度。
这种问题有一个很经典的转化，即维护一个数上一个与其值相同的数出现的位置，然后线段树去统计。

不过这道题并不需要，因为我们只需要判断种类数是不是 \(n\) 就行了，因此可以用st表 \(O(1)\) 判断，只需要区间内所有数上一次出现的位置都小于区间左端点就行了。

处理完最大值后就可以继续向两边递归去找。

这里的时间复杂度与启发式合并比较类似，平摊下来总体是 \(O(nlogn)\) 的。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+7;
int n,a[N],g[N][20],lst[N],lg[20];long long ans=0;
struct node
{
	int val,loc;
}f[N][20];
node maxx(node x,node y){return x.val>=y.val?x:y;}
void init()
{
	lg[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
	f[j][i]=maxx(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]),g[j][i]=max(g[j][i-1],g[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
node fmax(int l,int r){int x=lg[r-l+1];return maxx(f[l][x],f[r-(1<<x)+1][x]);}
int  gmax(int l,int r){int x=lg[r-l+1];return max (g[l][x],g[r-(1<<x)+1][x]);}
bool query(int l,int r){return gmax(l,r)<l;}
void solve(int l,int r)
{
	if(r<l) return;if(l==r) {ans+=(a[l]==1);return;}
	node mval=fmax(l,r);
	if(mval.loc-l<=r-mval.loc) 
	for(int i=max(l,mval.loc-mval.val+1),j=i+mval.val-1;i<=mval.loc&&j<=min(r,mval.loc+mval.val-1);++i,++j) ans+=query(i,j);
	else for(int j=mval.loc,i=j-mval.val+1;i<=mval.loc,j<=min(r,mval.loc+mval.val-1);++i,++j) if(i<l) continue;else ans+=query(i,j);
	solve(l,mval.loc-1),solve(mval.loc+1,r);
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];f[i][0]={a[i],i},g[i][0]=lst[a[i]],lst[a[i]]=i;}
	init();solve(1,n);cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}