后缀数组(SA)

后缀数组

P3809 【模板】后缀排序

定义：

• 对给定字符串的所有后缀排序后得到的sa、rk数组
  sa[i]->排名为i的后缀的位置 rk[i]->位置为i的后缀的排名
  容易发现，sa与rk互为逆，如:sa[rk[i]]=i,rk[sa[i]]=i

应用

• 应用主要体现在用后缀数组求lcp与height来维护查找子串、匹配等问题

实现

• 使用的牢柯前辈提供的高级思路，代码极其简略，好写好调
• 主要思想:由于注意到后缀的特殊性，即在依据以i开始的后缀的前len位排好序后，以从i+len+1开始的后缀作为第二关键字继续排序，仍保证正确性且规模缩小(len变长了)。由于对于两个后缀，若前半部分不同，则前半部分小的必定小，否则只需比较后半部分。因此考虑倍增k，一步一步合并。
  普通的倍增做法需要记录rk1,rk2作为第一、第二关键字。但牢柯考虑将第一关键字相同的集中处理完，以第二关键字排序，便省去了记录第一关键字。同时，由于没有第一关键字，因此可以很简单地写sort。但复杂度仍然没懂，感觉不太能保证，但事实就是正确的，小柯说不太好讲，知道就行了，复杂度是\(O(nlogn)\)
• 省掉了一个计数排序，然后就要统计这一轮的第二关键字的rk来作为下一轮的第一关键字。若两个后缀i,j本身与i+k,j+k相同，即两个后缀前k位相同，那就先视这两个后缀相同，排名不变，若不同，因为sa已经排好序，那后面的rk必定比前面大1。

code:

const int N=1e6+5;
int sa[N],rk[N],rk0[N],n,k=0; //n->s.length
string s;
bool cmp(int x,int y)
{
	return rk[x+k]<rk[y+k];
}
void SA() //sa[i]->排名为i的后缀的位置  rk[i]->位置为i的后缀的排名 
{
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i,rk[i]=s[i];
	//初始化排名，rk可以直接等于s[i]是因为第一次倍增只要要求相同字符rk相同即可
	sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	//处理sa 将sa以其后缀初始位置本身的大小排序，做到要求的"相同第一关键字在sa上连续"
	for(k=1;k<=n;k<<=1) //倍增k
	{
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=l;
			while(r<n&&rk[sa[r]]==rk[sa[r+1]]) ++r;
			//由于保证了"相同第一关键字在sa上连续",因此直接枚举出此时第一关键字相同的区间
			sort(sa+l,sa+r+1,cmp);
			//按后缀的后半段即第二关键字排序，处理出新的sa,同时使第二关键字相同的串连续 
		}
		int m=rk0[sa[1]]=1;//赋初值
		for(int i=2;i<=n;i++) 
		rk0[sa[i]]=(rk[sa[i]]==rk[sa[i-1]]&&rk[sa[i]+k]==rk[sa[i-1]+k])?m:++m;
		//若第一、第二关键字都相同，则暂时视为同一种串
		for(int i=1;i<=n;i++) rk[i]=rk0[i];
		if(m==n) return;//若所有rk均不同，则代表已经处理完毕 
	} 
}

P4051 [JSOI2007] 字符加密

• 题意：给定一个字符串，求将其排成一圈所有的读法排序后最后一位组成的序列。\(len\le 1e6\)
• 事实上很好做。考虑将字符串复制在后面，然后求后缀数组。
  显然对于后缀排序后的点与按题目中的方式排序相对位置不变，因此直接统计即可。

code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int sa[N],rk[N],rk0[N],k=0;
bool cmp(int x,int y){return rk[x+k]<rk[y+k];}
void SA(string s,int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i,rk[i]=s[i];
	sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	for(k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=l;while(r<n&&rk[sa[r]]==rk[sa[r+1]]) r++;
			sort(sa+l,sa+r+1,cmp);
		}
		int m=1;rk0[sa[1]]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++) rk0[sa[i]]=rk[sa[i]]==rk[sa[i-1]]&&rk[sa[i]+k]==rk[sa[i-1]+k]?m:++m;
		for(int i=1;i<=n;i++) rk[i]=rk0[i];
		if(m==n) continue;
	}
}
string t;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n;string s;cin>>s;s=s+s;n=s.length();s=' '+s;
	SA(s,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(sa[i]<=n/2) t+=s[sa[i]+n/2-1];
	cout<<t;
	return 0;
}

在字符串 \(t\) 中寻找特定子串 \(s\)

• 由于 \(s\) 如果在 \(t\) 中，那么其一定是 \(t\) 的某个后缀的前缀。由于我们已经对 \(t\) 的后缀排序，因此有可二分性。
  直接二分 \(O(|s|)\) 地比较，总时间复杂度是 \(O(|s|log_2|t|)\) 的。
• 如果要求 \(s\) 在 \(t\) 中出现的次数，也很好做。
  由于出现了 \(s\) 的后缀在后缀数组上一定是连续的，因此还是去二分区间左右端点，时间复杂度不变

P2870 [USACO07DEC] Best Cow Line G

• 题意：从字符串首尾取字符连在一起并最小化字典序
• 考虑类似贪心的做法。如果两边字符不同，那选更小的那一个一定优。如果相同，那就一个一个向里比，比到有不同的为止。
  但显然 \(O(n^2)\)，考虑有没有方法优化比较的过程。由于后缀数组是对后缀排序，而这里是对串的前缀与后缀大小比较。
  因此考虑将原串及其反串连起来。但因为如果这样原串与反串连接可能导致排序混乱，因此之间加一个特殊字符后再做sa。
  这样每次对比 \(O(1)\)，就可以做到总体时间复杂度 \(O(nlogn)\)（sa本身速度是阈值）。

code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+7;
int sa[N],rk[N],rk0[N],k=0;string t;
bool cmp(int x,int y){return rk[x+k]<rk[y+k];}
void SA(string s,int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i,rk[i]=s[i];
	sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	for(k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=l;while(r<n&&rk[sa[r]]==rk[sa[r+1]]) ++r;
			sort(sa+l,sa+r+1,cmp);
		}
		rk0[sa[1]]=1;int m=1;
		for(int i=2;i<=n;i++) rk0[sa[i]]=rk[sa[i]]==rk[sa[i-1]]&&rk[sa[i]+k]==rk[sa[i-1]+k]?m:++m;
		for(int i=1;i<=n;i++) rk[i]=rk0[i];
		if(m==n) return;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n,nn;string s;cin>>nn;n=nn;s=' ';string x;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x,s+=x;s+=' ';
	for(int i=n;i>=1;i--) s+=s[i];n=s.length()-1;SA(s,n);
	int l=1,r=nn+2;
	for(int i=1;i<=nn;i++) 
	{
		if(rk[l]<rk[r]) cout<<s[l],l++;else cout<<s[r],r++;
		if(!(i%80)) cout<<'\n';
	}
	return 0;
}

lcp

• \(lcp(i,j)\) 是指两个字符串 \(s_i,s_j\) 的最长公共前缀。这在许多题目中是解题的关键
  下面就讲述了如何快速求字符串的两个任意子串的lcp

height数组

定义

• \(height_i\) 表示 \(lcp(sa[i],sa[i-1])\)，这里括号里的数值指的是以这个数开头的字符串的后缀，后文也有这种用法。
  特别地，\(height_1=0\)

计算

• 首先有一个定理，对于 \(1\le i \le len_s\) 有

\[{\Large height_{rk_i}\ge height_{rk_{i-1}}-1} \]

结论详见oi wiki(还是太菜了)

• 求法就相对显然了。由于不等式的递减性，只需要 \(O(n)\) 算出来 \(height_{rk_i}\) 的值就可以总复杂度 \(O(n)\) 地求 \(height\) 数组。
  当然也可以像oi wiki上一样正着求。

code

for(int i=1,k=0;i<=n;i++)
{
  if(k) k--;
  while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k]) k++;
  heigth[rk[i]]=k;
}

这里代码的逻辑是通过将 \(height_{rk_i}\) 初始化成 \(height_{rk_{i-1}}-1\)，再重复去延伸。

结合height数组求lcp

• 还是有一个定理。若求以 \(lcp(i,j)\)，有

\[{\Large lcp(sa_i,sa_j)=min_{i+1\le k\le j}(height_k)} \]

• 证明看起来非常专业，就不搞了。还是看oi wiki上的感性理解吧
  因此在求完 \(height\) 数组后，求 \(lcp\) 就变成了一个RMQ（区间最值）问题。一般解决方法是写一个ST表解决。

P2852 [USACO06DEC] Milk Patterns G

• 题意：给定一串数，求出现次数至少为 \(k\) 次的子串的最大长度。
• 显然在后缀数组拍完序后，对于所有相同子串，由于其一定是某段后缀的前缀，因此这些相同的子串一定在排完序后是连续的。
  又因为要求至少出现 \(k\) 次，因此考虑在 \(height\) 数组上用单调队列求 \(height\) 上区间的最小值。
  注意，由于 \(height\) 数组是排序后相邻两个字符串的 \(lcp\)，因此实际上单调队列维护的区间长度应该是 \(k-1\)(调我两天)

code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int n,kk,s[N],sa[N],rk[N],rk0[N],k=0,q[N],h[N];
bool cmp(int x,int y){return rk[x+k]<rk[y+k];}
void SA()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i,rk[i]=s[i];
	sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	for(k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=l;
			while(r<n&&rk[sa[r]]==rk[sa[r+1]]) ++r;
			sort(sa+l,sa+r+1,cmp);
		}
		rk0[sa[1]]=1;int m=1;
		for(int i=2;i<=n;i++) rk0[sa[i]]=rk[sa[i]]==rk[sa[i-1]]&&rk[sa[i]+k]==rk[sa[i-1]+k]?m:++m;
		for(int i=1;i<=n;i++) rk[i]=rk0[i];
		if(m==n) return;
	}
}
void geth()
{
	for(int i=1,k=0;i<=n;i++)
	{
		if(k) k--;
		while(i+k<=n&&sa[rk[i]-1]+k<=n&&s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k]) k++;
		h[rk[i]]=k;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>kk;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
	SA();geth();kk--;
	int ans=0;
	int head=1,tail=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(head<=tail&&q[head]<=i-kk) head++;
		while(head<=tail&&h[q[tail]]>h[i]) tail--;
		q[++tail]=i;
		if(i>=kk) ans=max(ans,h[q[head]]);
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

P2408 不同子串个数

• 题意：给定一个字符串，求其本质不同的子串个数。
• 首先，总子串个数显然为 \(\frac{n\times (n+1)}{2}\)，考虑如何判掉重复的。
  思考方式与前几道题类似，由于所有子串都是后缀的某一前缀，因此相同的子串一定是所有 \(lcp\) 的所有前缀所形成的集合。
  注意，这里是所有 \(lcp\) 的前缀所形成的集合，如果有两个相同的子串，其一定是在 SA 数组上是连续的。因此我们可以直接统计不同的数的个数。

code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+7;
ll n,sa[N],rk[N],rk0[N],k=0,h[N];string s;
bool cmp(int x,int y){return rk[x+k]<rk[y+k];}
void SA()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) sa[i]=i,rk[i]=s[i];
	sort(sa+1,sa+n+1,cmp);
	for(k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=l;while(r<n&&rk[sa[r]]==rk[sa[r+1]]) ++r;
			sort(sa+l,sa+r+1,cmp);
		
		}
		rk0[sa[1]]=1;int m=1;
		for(int i=2;i<=n;i++) rk0[sa[i]]=rk[sa[i]]==rk[sa[i-1]]&&rk[sa[i]+k]==rk[sa[i-1]+k]?m:++m;
		for(int i=1;i<=n;i++) rk[i]=rk0[i];if(m==n) return;
	}
}
void geth()
{
	for(int i=1,k=0;i<=n;i++)
	{
		if(k) k--;
		while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k]) ++k;
		h[rk[i]]=k;
	}
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>s;s=' '+s;
	SA();geth();
	ll ans=(n+1)*n/2;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans-=h[i];
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

一些 tirck

并查集，二分来以此在 sa 数组上连边。做类似最小/大生成树的东西。同时维护集合大小。可以做 SAM 板子。用来算子串出现次数和相应的长度，相应的子串的具体结构也可以直接知道。感觉有的时候并不弱于 SAM。

可以发现，这个建立并查集的过程实际上与建树是本质相同的。我们可以看做将其弄成了一颗虚树。这个东西听 hkx 说是一个 Kruskal 重构树和笛卡尔树。（起码 hkx 自己认为是这样的）
然后可能会有一些神秘做法，比如说根据这个东西去按秩合并一些东西以及去 DP 一类的神秘东西。然后 hkx 又说这个东西跟后缀树有一些关系。探讨了一下发现确实有点关系，可能有深层次的信息映射关系，但是还没发现（？？？）不知道，有点牛。