【原】模幂运算(Modular Exponentiation)算法

模幂运算常常作为一些算法的中间求解步骤，算法的思路十分巧妙并且高效。模幂运算的描述如下：

    已知b, e, m, 求c。形如：

   

    其中，b<m (若b>m，可转换b为b%=m)

 

 

算法一：最显而易见的办法就是先求幂，再取模。例如

，得到 c = 445。 。

注意到b=4为1位，e=13为2位，m=497为3位，c=445为3位，但是 为8位。这很可能造成溢出，或者因为大整数运算而缓慢。

可以采用快速求幂法求得 ，时间复杂度为 O(loge)

int Power(int b, int e)
{
    if (0 == b || 1 == b || 0 == e)
        return 1;
    if (1 == e)
        return b;
    int n = e>>1;
    int tmp = Power(b, n);
    if (0 == (e&1))
        return tmp*tmp;
    else
        return tmp*tmp*b;
}

 

 

算法二：称为Right to left binary method

这里利用了等式：

同时将e表示作二进制表示形式：

所以 可以表示为：

因此所需求得的结果c为：

算法实现如下：

typedef __int64 BigInt;

//modular exponentiation
BigInt modexp(BigInt b,BigInt e,BigInt m)
{
    b%=m;
    BigInt result=1;
    while(e>0)
    {
        if( e&1 == 1 )
            result = (result*b)%m;
        // multiply in this bit's contribution while using modulus to keep result small
        // move to the next bit of the exponent, square (and mod) the base accordingly
        e >>= 1;
        b = (b*b)%m;
    }
    return result;
}

算法时间复杂度为O(loge)，若算上大整数相乘则总复杂度为O(loge*logm*logm)。

该算法最大优点在于空间要求同比于b，e，m的空间，不会造成溢出或者更多的空间占用。

因此在时间和空间上都高效。