【原】斐波那契质数(Fibonacci Prime)详解

Fibonacci数大家一定很熟悉了:

    clip_image002

    clip_image004

    clip_image006

 

Fibonacci质数的定义:

    若某Fibonacci数与任何比它小的Fibonacci数互质,那么它就是Fibonacci质数。

 

但是哪些的Fibonacci数才是Fibonacci质数呢?这里先给出结论:

    1. F(3)和F(4)是Fibonacci质数;从F(5)开始,某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数

    2. 第k小的Fibonacci质数是以质数数列中的第k个数为项数的Fibonacci数( 除F(3)和F(4)之外 )

 

证明如下:

证明任何与“互质”有关的问题,可以从余数入手,因此考察所有数除以M(M任意)的余数所组成的序列 : clip_image002[11]

所有数除以相应的某些M(M≠1)都可以余数为0,因此我们的M从这些数种选取。

此时 clip_image002[13],假设 clip_image002[11] 中的第一个零元素为 clip_image002[18],同时假设其前一个元素 clip_image002[20]

根据同余可加性:

clip_image002[30]

可得:

clip_image002[32] 

                             clip_image004[5]

由上述结论可得,因为 clip_image002[11] 序列和 clip_image002[39] 序列一样每个数只与其前两个数相关,因此从 clip_image002[41] 开始的子序列相当于从 clip_image002[45] 开始的序列乘以a。由此可见,当且仅当p为k的倍数时,clip_image002[47] 。此时 clip_image002[49]clip_image002[51] 都能被M整除,因此 clip_image002[49]clip_image002[51] 有公因数M(M≠1),clip_image002[49]clip_image002[51] 不互质,clip_image002[49] 不为Fibonacci质数(k<p)。因此对于任一合数q,都有k能够整除q(k<q),此时 clip_image002[61]clip_image002[51] 有公因数,clip_image002[63] 就不为Fibonacci质数。

 

因此得到结论(上述的逆反命题):若 clip_image002[61] 为Fibonacci质数,则q为质数。但存在个别反例:

    1.  clip_image002[66],所以不是Fibonacci质数

    2. clip_image002[68],虽然4是2的倍数,但 clip_image002[66],所以 clip_image002[71]clip_image002[73] 互质,因此 clip_image002[75] 仍为Fibonacci质数

最终结论:Fibonacci数列中的第3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 项为Fibonacci质数

posted @ 2011-01-27 15:36  Allen Sun  阅读(3055)  评论(0编辑  收藏