Fourier级数
Fourier级数的作用
Fourier级数可以将具有周期性的函数分解为不同频率正弦函数的累加和，从而将时域信号转换到频域，从而得到不同频率的成分在信号中的权重，如下图所示方波的分解（图来自Wikipedia）
Fourier级数的形式
对于任意一个周期为\(T\)的周期函数\(f(x)\)，它的Fourier级数表示为下述形式：
\[f(x)\sim \frac {a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(\frac {2\pi nx}{T})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{T}))
\]
其中：
\[\begin{aligned}
a_n&=\frac 2 T \int^{T}_{0}f(x)\cos(\frac {2\pi nx}{T}){\rm d}x,\ n\in {\mathbb N}\\
b_n&=\frac 2 T \int^{T}_{0}f(x)\sin(\frac {2\pi nx}{T}){\rm d}x,\ n\in {\mathbb N}_+
\end{aligned}
\]
Fourier级数的收敛条件
Dirichlet条件：
若函数\(f(x)\)满足下列条件，则\(f(x)\)的Fourier级数收敛到\([f(x+0)+f(x-0)]/2\).（充分非必要）
(1).\(f(x)\)在其任一周期内绝对可积
(2).\(f(x)\)在其任一周期内只有有限个极值点
(3).\(f(x)\)在任何有限区间内只能有有限个第一类间断点
其他判定条件：
若函数\(f(x)\)满足下列任一条件，则\(f(x)\)的Fourier级数收敛到\([f(x+0)+f(x-0)]/2\).（充分非必要）
(1).$f(x) $分段连续，且每一点存在广义的左、右导数（分段可微）
(2).\(f(x\))分段单调（Dirichlet定理）
(3).在\(x_0\in[-\pi,\pi]\)处满足\(\alpha-{\rm H{\ddot o}lder}\)连续性，即\(\exists L>0,\delta>0,\ {\rm s.t.\ }\forall t\in U(x_0,\delta),\ |f(x_0+t)-f(x_0) |\le L|t|^{\alpha}\)（Lipschitz定理）
在Fourier级数收敛的情况下，就可以将\(f(x)\)写为：
\[f(x)=\frac {a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(\frac {2\pi nx}{T})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{T}))
\]
Fourier变换（FT）
与Fourier级数不同，Fourier变换使得非周期函数也可以由三角级数逼近，这一点主要是通过将周期\(T\)从一有限数推广至无穷大来实现。
Fourier变换公式
\[{\mathcal F}[f(t)]=\int _{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t=\int _{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos\omega t+j\sin \omega t) {\rm d}t
\]
逆变换
\[f(t)=\frac 12\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathcal F}[f(t)]e^{j\omega t}{\rm d}\omega
\]
离散Fourier变换（DFT）
离散Fourier变换是应用于离散采样的时域信号的Fourier变换，对于有限时长，且具有\(N\)个样本数（采样间距相等）的离散时间信号\(x(m)\)，其DFT形式如下定义：
\[X(k)=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)e^{-j\frac{2\pi}{N} mk},\quad k=0,1,\cdots,N-1
\]
逆变换：
\[x(m)=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N} mk},\quad m=0,1,\cdots,N-1
\]
离散余弦变换（DCT）
先看上边DFT的公式，将其展开成三角多项式形式
\[\begin{aligned}
X(k)&=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)(\cos(\frac{2\pi mk}{N})-j\sin(\frac{2\pi mk}{N}))\\
&=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\cos(\frac{2\pi mk}{N})-j\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sin(\frac{2\pi mk}{N})
\\
\quad (k&=0,1,\cdots,N-1)
\end{aligned}
\]
显然DFT的结果中实部全部由余弦成分构成，虚部全部由正弦成分构成，即
实数部分：
\[{\rm Re}[X(k)]=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\cos(\frac{2\pi mk}{N})
\]
虚数的系数部分：
\[{\rm Im}[X(k)]=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sin(\frac{2\pi mk}{N})
\]
显然\({\rm Re}[X(k)]\)是偶函数，而\({\rm Im}[X(k)]\)是奇函数。
接下来利用离散实信号\(\{x(0),x(1),\cdots,x(N-1) \}\)来构造一个信号\(x'(m)\)，定义如下：
\[x'(m+\frac 12)=
\left\{
\begin{array}{l}
x(m),\quad 0\le m\le N-1\\
x(-m-1),\quad -N\le m\le -1
\end{array}
\right.
\]
对于\(0\le m\le N-1\)：
\[x'(-(m+\frac12))=x'(-m-\frac12)=x'(-(m+1)+\frac12)=x((m+1)-1)=x(m)=x'(m+\frac12)
\]
对于\(-N\le m\le -1\)：
\[x'(m+\frac12)=x(-m-1)=x'(-m-1+\frac12)=x'(-(m+\frac12))
\]
于是\(x'(m)\)是一个实偶信号，采样点也从\(\{0,1,\cdots,N-1\}\)变为\(\{-N+1/2,-N+3/2,\cdots,1/2,\cdots,N-1/2 \}\)，如果写出\(x'(m)\)的DFT公式，其形式为
\[\begin{aligned}
X’(k)&=\sum_{m=-N+\frac12}^{N-\frac12}x'(m)(\cos(\frac{2\pi mk}{2N})-j\sin(\frac{2\pi mk}{2N}))\\
&=\sum_{m=-N+\frac12}^{N-\frac12}x'(m)\cos(\frac{2\pi mk}{2N})-j\sum_{m=-N+\frac12}^{N-\frac12}x'(m)\sin(\frac{2\pi mk}{2N})
\\
\end{aligned}
\]
观察其虚部，由于虚部全部由正弦成分组成，为奇函数。奇函数乘以一个偶函数\(x'(m)\)仍然是奇函数，而一个奇函数在关于零点对称的集合上对函数值求和等于零，又由其实部满足偶函数性质，所以\(X'(k)\)可以进一步简化为
\[\begin{aligned}X'(k)&=\sum_{m=-N+\frac12}^{N-\frac12}x'(m)\cos(\frac{2\pi mk}{2N})\\&=2\sum_{m=\frac12}^{N-\frac12}x'(m)\cos(\frac{2\pi mk}{2N})\\&=2\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\cos(\frac{k\pi (n+\frac12)}{N})\end{aligned}
\]
另如下定义\(c(k)\)（为何这么定义？解释在这里）
\[c(k)=\left\{ \begin{array}{l}\frac 1 {\sqrt N},\quad k=0\\\sqrt{\frac 2{N}},\quad k=1,2,\cdots,N-1\end{array}\right.
\]
最终形式
\[X(k)=c(k)\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\cos(\frac{k\pi (n+\frac12)}{N})
\]
二维离散余弦变换（2D-DCT）
对\(M\times N\)矩阵\([f(x,y)]\)，\([f(x,y)]\)的DCT形式如下
\[F(u,v)=c(u)c(v)\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cos\frac {(2x+1)u\pi}{2M}\cos\frac {(2y+1)v\pi}{2N}
\]
\(c(k)\)定义类似一维形式。特别地，当\(M=N\)时，2D-DCT可用矩阵乘法表示：
\[F=A[f(x,y)]A^T
\]
其中
\[A=\left [\begin{matrix}\sqrt{1/N}[1 &1&1&\cdots&1]\\\sqrt{2/N}[\cos(\pi/2N) &\cos(3\pi/2N) &\cos(5\pi/2N) &\cdots&\cos((2N-1)\pi/2N)]\\\sqrt{2/N}[\cos(2\pi/2N) &\cos(6\pi/2N)&\cos(10\pi/2N)&\cdots&\cos(2(2N-1)\pi/2N)]\\\vdots\\\sqrt{2/N}[\cos((N-1)\pi/2N) &\cos(3(N-1)\pi/2N)&\cos(5(N-1)\pi/2N)&\cdots&\cos((N-1)(2N-1)\pi/2N)]\\\end{matrix}\right]
\]
