笔记：二部图最大匹配的匈牙利算法

二部图最大匹配问题

定义

设简单二部图\(G=< A,B,E>,M\subset E,\)如果\(M\)中任意两条边都不相邻，则称\(M\)是\(G\)的匹配。当\(M\)的边数最多时，\(M\)称作最大匹配。当\(|A|=|B|=n\)时，边数为\(n\)的匹配称作完美匹配。

相关概念

交错路径和增广交错路径

设\(M\)是二部图\(G\)的一个匹配，则称\(M\)中的边为匹配边，\(G\)中不属于\(M\)的边为非匹配边，与匹配边关联的顶点为饱和点。\(G\)中由匹配边和非匹配边交替构成的路径称为交错路径，起点和重点都是非饱和顶点的交错路径称为增广交错路径。

引理1

设\(M\)是二部图\(G\)的一个匹配，\(P\)是一条关于\(M\)的增广交错路径，则\(M'=M\bigoplus E(P)\)（和原来匹配做对称差）是一个匹配，且\(|M'|=|M|+1\)，其中\(E(P)\)是\(P\)的边集。

定理1

二部图的匹配是最大匹配当且仅当不存在关于它的增广交错路径。

匈牙利算法（Hungarian algorithm）

基本思想

(1).从初始匹配\(M\)开始，寻找一条关于它的增广交错路径\(P\)

(2).令\(M\leftarrow M\bigoplus E(P)\)

(3).检查是否存在关于\(M\)的增广交错路径\(P\)，若不存在，算法结束。否则转(2).

实现：标号法

1.设当前匹配为\(M\)，对\(A\)中每一个非饱和点\(A_i\)加标号\(l(A_i)=0\)，\(A_i\)是已标号但未检查的点。

2.对任意已标号但未检查的顶点\(A_i\)，把所有与其相邻但未标号的顶点\(B_j\)标号为\(l(B_j)=A_i\).

3.如果\(B_j\)是非饱和点，则找到一条增广交错路径，修改匹配，重新开始标号。

4.如果\(B_j\)是饱和点，则设\((A_k,B_j)\in M\)，令\(l(A_k)=B_j\)，则\(A_k\)成为已标号未检查顶点，\(A_i\)成为已标号已检查的顶点。

5.重复算法，直到\(A\)中不存在已标号未检查的顶点。

匈牙利算法的复杂度分析

设二部图\(G=< A,B,E>\)。在匈牙利算法的每个阶段若找到增广交错路径\(P\)，令\(M\leftarrow M\bigoplus E(P)\).对于初始状态，\(M=\emptyset\)是\(G\)的匹配。当计算终止时，不存在增广交错路径。

除去算法最终阶段外，算法每个阶段增加一条匹配边，匹配边总数为\(\min\{|A|,|B|\}\)条，所以最多有\(\min\{|A|,|B|\}+1\)个阶段，在每个标号阶段中，每条边最多被检查一次，增广交错路径长度不超过\(2|M|+1\)，所以每个阶段将在\(O(|E|)\)内完成。故整个算法在\(O(\min\{|A|,|B|\}\times E)\)步内中止。