[algorithm] 如何计算一个树的最远点.

Description

有一颗 n个点的树,根节点序号是 1,其他节点的序号按照由上而下,由左往右的顺序排列。知道树中 n-1条边的长度。如何计算一个点到树中最远点的距离?

输入:第1行为节点数n,以下n-1行,每行两个整数,分别给出节点2到节点n的父节点和边权。

输出:n行,其中第i行为节点i到树中最远点的距离。

 

来自德问的一个题目,看到了就想了一下,其实就是一个dp,下面简要写一下算法思路,给出一个实例的分析过程。这里只针对二叉树做分析,多叉的情况处理方法类似。把树放平了看,可能好理解一点,求节点i到树中最远点的距离。

图片1 

推导:

1: 从图中看,从i出发的路径有三条,分别是path-0,path-1,path-2,假设path-0是朝向父亲节点的(右边),path-1和path-2朝向孩子节点的(左边),方便叙述。顺着三个方向到“该方向上最远点”的距离假设为dis(i,0),dis(i,1),dis(i,2),那么到最远点的距离是max(dis(i,0),dis(i,1),path(i,2));

2: dis(i,1),dis(i,2)总是有一个是比较大的(后面会看到,在算法中可以很简单的通过比较得到),我们将长度较大的路径命名为path-1路径,那么到i节点到最远点的距离变为: max(dis(i,0),dis(i,1)),因为dis(i,1)总是大于dis(i,2),不在参与比较。

3: 简单推导几个方程式:

    (1)  i节点沿着path-1方向的最远距离是i与i_child1之间的距离 + i_child1沿着path-1方向的最远距离

          得到:dis(i,1) = distance(i,i_child1) + dis(i_child1,1);

    (2) i节点沿着path-2方向的最远距离是i与i_child2之间的距离 + i_child2沿着path-1(# 03/25/2012修正)方向的最远距离

          得到:dis(i,2) = distance(i,i_child2) + dis(i_child2,1);

    (3) i节点沿着path-0方向的最远距离是i与i_father之间的距离 + max ( i_father沿着path-0的最远距离,i_father沿着path-n的距离);

         这里的n暂时不确定是1还是2,因为我们并不知道i是在i_father的path-1方向还是path-2方向,信息可通过记录dis(i,1)通过的直接孩子节点获取。

         得到:dis(i,0) = distance(i,i_father) + max(dis(i_father,0),dis(i_father,n));如果i在path-1上,则n=2,如果i在path-2上,则n=1。

算法流程:

1: 左到右(对树而言由下至上),针对每一个节点计算: dis(i,1)和dis(i,2)

2: 右到左(对树而言由上至下),针对每一个节点计算: dis(i,0)

3: 最后max(dis(i,0),dis(i,1))得到结果

实例:

图片2

1: dis(i,1)和dis(i,2)

    dis(7,1) = 0; dis(7,2) = 0; dis(8,1) = 0; dis(8,2) = 0;

    dis(4,1) = 2;dis(4,2) = 1;dis(5,1) = 0;dis(5,2) = 0;dis(6,1) = 0;dis(6,2) = 0;

    dis(2,1) = 5;dis(2,2) = 5;dis(3,1) = 1;dis(3,2) = 0;

    dis(1,1) = 9;dis(1,2) = 2;

2: dis(0)

    dis(1,0) =0;

    2节点位于father的path-1上,n=2:

    dis(2,0) = distance(2,1)+max(dis(1,0),dis(1,2)) = 4+max(0,2)=6;

    3节点位于father的path-2上,n=1:

    dis(3,0) = distance(3,1)+max(dis(1,0),dis(1,1))=1+max(0,9) =10;

    4节点位于father的path-1上,n=2:

    dis(4,0) = distance(4,2)+max(dis(2,0),dis(2,2)) = 3+max(6,5)=9;

    5节点位于father的path-2上,n=1:

    dis(5,0) = distance(5,2)+max(dis(2,0),dis(2,1)) = 5+max(6,5)=11;

    6节点位于father的path-1上,n=2;

    dis(6,0)=distance(6,3)+max(dis(3,0),dis(3,2))=1+max(10,0)=11;

    7节点位于father的path-1上,n=2;

    dis(7,0)=distance(7,4)+max(dis(4,0),dis(4,2))=2+max(9,1)=11;

    8节点位于father的path-2上,n=1;

    dis(8,0)=distance(8,4)+max(dis(4,0),dis(4,1))=1+max(9,2)=10;

3: max(dis(i,0),dis(i,1))得到: 节点-最远距离

   1-9;2-6;3-10;4-9;5-11;6-11;7-11;8-10

posted @ 2012-03-15 02:42  zsounder  阅读(1742)  评论(2编辑  收藏  举报