金融随机分析：Lecture01 - Lecture04
Lecture01. Introduction
1.什么是随机微积分？
- 数学的一个分支，研究在随机过程下的积分和微分运算
- 提供了用于对涉及随机性或不确定性的系统进行建模和分析的数学框架
2.背景：对金融经济的两大改变：马科维茨发表论文《投资组合选择》，夏普提出CAPM理论。BSM提供了一种公平定价风险对冲证券的理论方法，逻辑上是构建了一个完美复制欧式期权的投资组合。
3.风险可以分为系统性风险和非系统性风险，其中非系统性风险可以通过投资组合化解掉。
4.完美市场的条件：
- 无摩擦（无交易成本、运输成本、可以卖空）
- 债券无限可分
- 满足有效市场条件（市场价格等于无风险利率）
- 无套利（套利：支付零成本的同时获得持续的正回报）
均衡价格等于边际成本，销售者不会有超额的利润产生。
5.多头和空头，属于交易术语，多头，指买方，也就是看好某个股票（或者证券）未来走势，买入或者持有该股票，称为多头；空头，就是对某个股票未来行情走势看跌，卖出或者不看好该股票，称为空头。
6.卖空是指股票投资者当某种股票价格看跌时，便从经纪人手中借入该股票抛出，目后该股票价格果然下落时，再从更低的价格买进股票归还经纪人，从而赚取中间差价。
7.牛市是预料股市行情看涨，前景乐观的专门术语，熊市是预料股市行情看跌，前景悲观的专门术语。
8.欧式看涨期权允许买方在期权到期日以约定的价格（行使价）购买标的资产买方在期权到期日之前无法行使该期权。这意味着买方只能在期权到期日才能决定是否要行使该期权，以购买标的资产。如果市场价格高于行使价，买方可以获利。如果市场价格低于行使价，买方可以选择不行使期权，只损失权利金。欧式看跌期权：欧式看跌期权允许买方在期权到期日以约定的价格（行使价）卖出标的资产。欧式期权中，买方：有限风险、无限收益、可选择性、支付期权费；卖方：有限收益、无限风险、不可选择性、收取期权费。
假设行权价为\(K\)，到期日为\(T\)。
看涨期权的内在价值\(C_T = (S_T - K)^+\)，
看跌期权的内在价值\(P_T = (K - S_T)^+\)。
涨跌平价：\(C_T - P_T = S_T - K\),其内在含义是：无论标的资产的价格如何，收益都是固定的，不会有风险也不会有利润
一般形式：\(C_t - P_t = S_t - B(t,T)k, t \leq T\)
其中B(t,T)表示到期日\(T\)的零息债券在时间\(t\)的价格。
\(B(t,T) = \frac{B(t)}{b(T)} = (1 + r)^{-(T-t)}\)（利率固定）
\(B(t,T) = \frac{B(t)}{b(T)} = \prod_ {s=t}^{T-1}(1+r(s))^{-1}\)（利率不固定）
如果是连续时间下，\(B(t,T) = \frac{B(t)}{b(T)} = e^{\int_{t}^{T}r(u)du}\)（利率不固定）
9.零息债券：零息债券是指以贴现方式发行，不附息票，而于到期日时按面值一次性支付本利的债券
Lecture02.Probability Theory Review
1.有限样本空间 \(\Omega\)
有限样本空间的任意子集都是一个事件，如果一个事件只包含一个状态，那么这个事件就是基本事件。
2.如果集合中的元素可以和自然数一一对应，那么就是可数集。
3.一个映射 \(\mathcal P\) 被称为在离散样本空间\(\Omega = \{(w_i)_{i \in I}\}\)概率如果满足以下条件：
- \(P(w_i) \geq 0\) for all \(i \in I\)
- \(\sum_{i \in I}P(w_i) = 1\)
4.概率空间由样本空间\(\Omega\)和概率\(\mathcal P\)组成。\(\mathcal F\)是样本空间\(\Omega\)所有子集的集合，任意子集\(E \in \mathcal F\)被称为一个事件。\((\Omega,\mathcal F,\mathcal P)被称为概率空间\)。
5.\(\sigma\)代数：
假设\(\Omega\)是一个非空集合，\(\mathcal F\)是样本空间\(\Omega\)所有子集的集合。\(\mathcal F\)被称为一个\(\sigma\)代数，如果：
- \(\Omega \in \mathcal F\)
- 如果\(E_1,E_2,...,E_n \in \mathcal F\)，那么\(\bigcup_{i=1}^{n}E_i \in \mathcal F\)
- 如果\(E \in \mathcal F, 那么 E^c \in \mathcal F\)
6.概率测度
一个映射\(\mathcal P: \mathcal F \rightarrow [0,1]被称为空间\Omega 的概率测度\)如果：
- 对于所有事件 \(E \in \mathcal F, 0 \leq P(E) \leq 1\)
- \(P(\Omega) = 1\)
- 如果\(E_1,E_2,...,E_n \in \mathcal F\)，那么\(P(\bigcup_{i=1}^{n}E_i) = \sum_{i=1}^{n}P(E_i)\)
概率测度满足以下性质：
- \(P(\emptyset) \geq 0\)
- if $ E \subseteq F,then P(E) \leq P(F)$
- \(P(E) = 1 - P(\Omega/E)\)
- \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)\)
7.随机变量
令\((\Omega,\mathcal F,\mathcal P)\)是一个概率空间，一个随机变量是一个定义在\(\Omega\)上的实值函数，\(X: \omega \rightarrow X(\omega) ,\)满足：对于常量\(c,\{\omega \in \Omega:X(\omega) \leq c\} \in \mathcal F\)。
8.概率分布
令\(X\)是一个定义在概率空间\((\Omega,\mathcal F,\mathcal P)\)上的随机变量，如果
- \(P(X = x_i) \gt0 for i = 1,2,...\)
- \(\sum_{i=1}^{\infty}P(X = x_i) = 1\)
那么\(概率P(X = x_i)的集合\)被称为一个概率分布。
9.累计分布函数
\(F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=1}^{\infty}P(X \leq x_i)\)
10.一个随机变量不是分布，一个分布不是随机变量；
相同的分布并不一定有相同的随机变量。
概率测度也不是随机变量。
11.离散随机变量的期望
离散随机变量\(X\)的期望定义为：
\(E^{\mathcal P}(X) = \sum_{\omega \in \Omega}X(\omega)P(X = x_i)\)
期望的性质：
- \(E^{\mathcal P}(c) = c\)
- \(E^{\mathcal P}(X+Y) = E^{\mathcal P}(X) + E^{\mathcal P}(Y)\)
- \(E^{\mathcal P}(aX+b) = a^{\mathcal P}(X) + b\)
- if $X \leq Y $ then $ E^{\mathcal P}(X) \leq E^{\mathcal P}(Y)$
- if \(f(x)\) 是凸函数，则 \(f(E^{\mathcal P}(X)) \leq E^{\mathcal P}(f(X))\)
12.离散随机变量的方差
离散随机变量\(X\)的方差定义为：
\(Var^{\mathcal P}(X) = E^{\mathcal P}((X - E^{\mathcal P}(X))^2)\)
方差的性质：
- \(Var^{\mathcal P}(X) \geq 0\)
- \(Var^{\mathcal P}(X) = 0\) iff \(X = c\)
- \(Var^{\mathcal P}(X) = E^{\mathcal P}(X^2) - [E^{\mathcal P}(X)]^2\)
- \(Var^{\mathcal P}(X+Y) = Var^{\mathcal P}(X) + Var^{\mathcal P}(Y)\)
- \(Var^{\mathcal P}(aX+b) = a^2Var^{\mathcal P}(X)\)
常见分布的均值和方差：
- 伯努利分布：\(E^{\mathcal P}(X) = p\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = p(1-p)\)
- 二项分布：\(E^{\mathcal P}(X) = np\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = np(1-p)\)
- 泊松分布：\(E^{\mathcal P}(X) = \lambda\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = \lambda\)
- 几何分布：\(E^{\mathcal P}(X) = \frac{1}{p}\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
13.\(m\)阶原点矩
随机变量\(X\)的\(m\)阶原点矩定义为：
\(E^{\mathcal P}(X^m) = \Sigma_n x_n^m P(X = x_n)\)
14.测度转换
令\(\mathcal P 和 \mathcal Q\)是概率空间\(\Omega\)上的等价概率测度，随机变量$$\mathcal Z(\omega) = \frac{\mathcal Q(\omega)}{\mathcal P(\omega)}$$称为 \(\mathcal Q\) 关于 \(\mathcal P\) 的拉东-尼克蒂姆导数。
他满足：
- \(P(\mathcal Z \gt 0) = 1\)
- \(E^{\mathcal P}(\mathcal Z) = 1\)
- \(E^{\mathcal Q}(X) = E^{\mathcal P}(\mathcal ZX)\)
15.连续随机变量的概率密度函数
连续随机变量\(X\)的概率密度函数定义为：
\(F_x(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_x(t) dt\)
连续随机变量的期望：
\(E^{\mathcal P}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_x(x) dx\)
连续随机变量的方差：
\(Var^{\mathcal P}(X) = E^{\mathcal P}(X^2) - [E^{\mathcal P}(X)]^2\)
常见的连续随机分布的期望和方差：
- 均匀分布：\(E^{\mathcal P}(X) = \frac{a+b}{2}\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)
- 指数分布：\(E^{\mathcal P}(X) = \frac{1}{\lambda}\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)
- 高斯分布：\(E^{\mathcal P}(X) = \mu\)，\(Var^{\mathcal P}(X) = \sigma^2\) 高斯分布的表达式：\(f_x(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
16.随机向量
向量\(X = (X_1, X_2, ..., X_n)\)被称为向量，如果\(X_1, X_2, ..., X_n\)都是随机变量。
随机向量的协方差矩阵：
\(Cov(X) = \begin{bmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & ... & \sigma_{1n} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & ... & \sigma_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & ... & \sigma_{nn} \end{bmatrix}\)
随机变量的协方差：
\(Cov(X, Y) = E^{\mathcal P}((X-E(X))(Y-E(Y))) = E^{\mathcal P}(XY) - E^{\mathcal P}(X)E^{\mathcal P}(Y)\)
随机变量的相关系数：
\(p = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\) \(p = 0\)不意味着独立
Lecture03. Single-Period Binomial Market Models
1.二项资产定价模型：当t=0时，资产价格，包括股票、债券是公开的。投资者或代理人可以购买不同的资产份额，以构建具有初始禀赋的投资组合。投资组合通常由股票和债券组成。在t=1结束时，代理人再次被告知资产价格（相同或更改）。如果代理人的投资组合总价值发生变化，代理人将获得报酬。
2.单时段二叉树市场模型：只考虑两种资产：股票S和银行B。这个模型就是 $ M = (B，S)$
\(u = \frac{S_1(H)}{S_0}, d = \frac{S_1(T)}{S_0}\)
银行的确定性收益为\(r,r \gt -1\)
无套利：\(0 \lt d \lt 1 + r \lt u\)
3.交易策略（资产组合），通过\((x,\phi)\)表示
- \(x\)是初始时刻的禀赋
- \(\phi\)是股票的份额数量
- 现金的份额数量为\(x-\phi S_0\)，如果\(x - \phi S_0 \gt 0\)，代表代理人将现金存入银行，如果\(x - \phi S_0 \lt 0\)，代表代理人从银行中借款。
4.终期财富：\(V_1(x,\phi)\)表示
\(V_1(x,\phi)(H) = \phi S_1(H) + (x-\phi S_0)(1 + r)\)
\(V_1(x,\phi)(T) = \phi S_1(T) + (x-\phi S_0)(1 + r)\)
财富过程（价值过程）：\((V_0(x,\phi),V_1(x,\phi))\)
\(V_0(x,\phi) = x\)
\(V_1(x,\phi) = \phi S_1 + (x-\phi S_0)(1 + r)\)
5.套利是以零初始成本保证未来一定利润，没有亏损的风险。一个单期二叉树市场模型的交易策略\((x,\phi)\)被称为有套利机会的当以下条件成立：
- \(x = V_0(X,\phi) = 0\)
- \(V_1(X,\phi) \ge 0\)
- \(V_1(x,\phi)(w_i) \gt 0\)
- \(E^{\mathcal P}(V_1(x,\phi)) = pV_1(x,\phi)(H) + qV_1(x,\phi)(T) > 0\)
市场上有时确实存在套利机会，但这是必要的、暂时的、规模有限的。一旦有人发现并利用了它，市场中的供求力量就会采取行动消除它，市场就会恢复平衡。
单期二叉树市场模型无套利的充要条件：\(0 \lt d \lt 1 + r \lt u\)。
- 证明：（1）如果\(d \ge 1 + r\)，初始的时候像银行借一笔钱，然后用借的钱购买股票，最后在期末的时候把股票卖掉，把借的钱还掉，获得收益。（2）如果\(u \le 1 + r\)，在初始做空股票，然后投资银行，一定可以取得正收益。
也可以通过上述性质进行证明。
6.复制原则
复制原理的内在逻辑：投资的期望收益相同时，其投资成本也是相同。可以构造一个投资组合，无论股价上升还是下降，投资组合的到期收益与期权的到期收入完全相同，那么投资组合的成本就是期权的价格。
对于\(X = h(S_1)\)，二叉树模型的复制策略可以表示为：
\((x - \phi S_0)(1 + r) + \phi S_1(H) = h(S_1(H))\)
\((x - \phi S_0)(1 + r) + \phi S_1(T) = h(S_1(T))\)
例题：二叉树市场模型\(S_0 = 4,u = 2,d = \frac{1}{2},p = \frac{1}{4},r = \frac{1}{4}\)。欧式看涨期权的行权价格为\(K = 5\)。寻找一个交易策略使得最终价值是该看涨期权的一个复制策略。
答：\(S_1(H) = uS_0 = 8，h(S_1(H)) = 3\)
\(S_1(T) = dS_0 = 2，h(S_1(T)) = 0\)
假设交易策略为\((x,\phi)\),他满足：
\((x - \phi S_0)(1 + r) + \phi S_1(H) = 3\)
\((x - \phi S_0)(1 + r) + \phi S_1(T) = 0\)
解得：\(x = 1.2 ,\phi = 0.5\)
这个\(x\)被称为无套利价格。
对于一般的二叉树市场模型，其复制策略可以表示为：
$ x = \frac{1}{1 + r}(\tilde{p}h(S_1(H))+\tilde{q}h(S_1(T)))$
\(\phi = \frac{h(S_1(H)) - h(S_1(T))}{S_1(H) - S_1(T)}\)
其中
\(\tilde{p} = \frac{1 + r - d}{u - d},\tilde{q} = 1 - \tilde{p}\)
如果这个线型方程组有唯一解，说明对于任意的未定权益\(X\)，我们都有唯一的复制策略的唯一的无套利价格。我们也可以找到这个未定权益在二叉树市场模型中的一个复制策略，被称为完备市场模型（所有资产均可以被复制）。
\(\tilde{p}，\tilde{q}\)被称为风险中性测度。
注意到：
\(\frac{1}{1+r}[\tilde{p}h(S_1(H)) + \tilde{q}h(S_1(T))] = S_0\)
即
\(E^{\tilde{p}}(\frac{S_1}{1+r}) = \frac{1}{1+r}[\tilde{p}h(S_1(H)) + \tilde{q}h(S_1(T))] = S_0\)
这就是所谓的artingale(鞅) 在风险中性测度下贴现资产价格的性质。
7.风险中性概率测度（等价鞅测度）：如果概率测度\(Q = \tilde{P}\)。满足：
\(E^{\mathcal Q}(\frac{S_1}{B_1}) = \frac{S_0}{B_0}\)
证明的话只需要带入即可。
风险中性定价公式，对未定权益\(X = h(S_1)\)，初始时刻的无套利价格\(x\)在无套利单期二叉树市场模型的表达式为\(x = E^{\tilde{P}}(\frac{X}{B_1}) = E^{\tilde{P}}(\frac{h(S_1)}{1 + r})\)
8.定义股票的回报率为：
\(r_S = \frac{S_1 - S_0}{S_0}\)
有两个概率测度\(p^1,p^2\),有
\(E^{p^1}(r_S) - E^{p^2}(r_S)= (p^1 - p^2)(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0})\)
由上式可以得到：
\(E^{P}(r_S) - r= (p - \tilde{p})(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0})\)
\(E^{P}(r_S) - r_S(H)= (p - 1)(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0})\)
\(E^{P}(r_S) - r_S(T)= p(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0})\)
对于风险中性测度\(Q\)，有：
\(E^Q(r_S) = r\)
对于两支股票\(S_1,S_2\)和一个共同的概率测度\(P\)，有：
\(Cov(r_{S_1},r_{S_2}) = p(1-p)(\frac{S_1^1(H) - S_1^1(T)}{S_1^0})(\frac{S_2^1(H) - S_2^1(T)}{S_2^0})\)
那么单个股票的方差就是：
\(Var(r_S) = p(1-p)(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0})^2\)
结合之前式子，得到新的推论：
\(E^{P}(r_S) - r= (p - \tilde{p})(\frac{S_1(H) - S_1(T)}{S_0}) = \frac{|p - \tilde{p}|\sigma_S}{\sqrt{p(1-p)}}\)
这个公式的含义：
- 风险高的股票的期望回报率更高
- 当波动率为0，股票期望回报率等于无风险利率
- 要求更高的期望回报必须愿意承担更多风险
- 当主观概率测度和风险中性测度一致时，代理人的期望回报率和其承担的风险无关。
- 股票和期权的期望增长率在不同的概率测度下可能完全不同，这个差值被称为风险溢价，来源于投资者对于承担潜在利润和损失的风险要求的额外补偿。风险中性的代理人不要求额外的补偿。
以及推论：
\(S_0 = \frac{E^{\mathcal P}(S_1)}{\frac{|p - \tilde{p}|\sigma_S}{\sqrt{p(1-p)}} + 1 + r}\)
有两只股票，\(S_1,S_2\)，股票\(S_1\)对股票\(S_2\)的回归系数为\(\beta_{S_1,S_2} = \frac{Cov(r_{S_1},r_{S_2})}{Var(r_{S_2})}\)
结合上面两个公式，可以发现：通过知道股票2的信息以及它和股票1之间的相关系数，就可以得到股票1在初始时刻的定价。这被称为相对定价公式，\(S_2\)常常作为市场指数使用。适用于任何未定收益。
Lecture04. General Single-Period Market Models
1.一般单期市场模型：状态空间有多个元素\(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_k\}\)，即在1时刻的股价有\(k\)种状态。不失一般性，我们假设它们满足：\(S_1(\omega_1) \gt S_1(\omega_2)\gt ... \gt S_1(\omega_k)\)。
这个模型是无套利且存在风险中性概率测度的当且仅当：
\(S_1(\omega_1) \gt S_0(1+r) \gt S_1(\omega_k)\)
证明过程和二叉树单期市场模型一致。
- 这个市场是一个不完全市场模型，因为对于某些未定权益，不存在复制策略（方程个数大于未知数个数）。
- 股票记为\(S_0^j\)，其中\(j\)代表股票标号。
- 交易策略和价值过程的定义类似于二叉树模型
- 可以定义财富的增量过程，就是使用1时刻的总财富减去0时刻的初始禀赋，财富的增量过程可能为负。
- 一般单时段模型套利的定义与单时段二叉树模型基本一致
2.定义折现的股价：
\(\hat{S}_0^j = \frac{S_0^j}{B_0} = S_0^j,\hat{S}_1^j = \frac{S_1^j}{B_1} = \frac{S_1^j}{1 + r}\)
所以折现财富定义为：
\(\hat{V}_0(x,\phi) = \frac{V_0(x,\phi)}{B_0} = x\)
\(\hat{V}_1(x,\phi) = \frac{V_1(x,\phi)}{B_1} = (x - \Sigma_{j = 1}^{n}{\phi^jS_0^j}) + \Sigma_{j = 1}^{n}{\phi^j \hat{S}_1^j} = x + \Sigma_{j = 1}^{n}{\phi^j\Delta \hat{S}_1^j}\)
其中\(\Delta \hat{S}_1^j = \hat{S}_1^j - \hat{S}_0^j\)
那么折现的增量过程就是：
\(\hat{G}_0(x,\phi) = \frac{G_0(x,\phi)}{B_0} = 0\)
\(\hat{G}_1(x,\phi) = \frac{G_1(x,\phi)}{B_1} = \Sigma_{j = 1}^{n}{\phi^j\Delta \hat{S}_1^j}\)
折现的增量过程在1时刻与初始禀赋\(x\)无关，所以\(\hat{G}_1(x,\phi) = \hat{G}_1(0,\phi) = \hat{V}_1(0,\phi)\)
3.一般市场模型的风险中性测度（等价鞅测度）：
- \(Q(w_i) > 0\)
- \(E^{\mathcal Q}(\Delta\hat{S}_1^j)=0\)
推论：\(E^{\mathcal Q}(\frac{S_1^j}{B_1}) = \frac{S_0^j}{B_0}\)
4.资产定价基本定理I（FTAP I）：一个一般单期市场是无套利的当且仅当存在风险中性测度\(Q\)。
5.可达的未定权益：复制策略存在且终期价值等于未定权益的到期支付。
- 任意可达的未定权益都可以通过复制原则定价
- 可达的未定权益的无套利价格存在即唯一
- 用风险中性定价公式对可达的未定权益进行定价：\(x = \frac{1}{1+r}E^{\mathcal Q}(X)\),\(X\)是可达的未定权益。
例题：
考虑一个单期市场模型包括一个银行\(B\)，和可交易的股票市场\(S\)。此外，存在一个辅助的随机变量：波动率\(v\)，它代表股价变动的幅度。假设样本空间\(\Omega = \{w_1,w_2,w_3,w_4\}\),随机变量\(v\)定义为：
其中\(0\lt l \lt h \lt 1\)。股票在1时刻的价格定义为：
考虑一个数字期权\(X\)：
其中\(K\)是期权行权价格。我们假设它满足：\((1+l)S_0 < K < (1+h) S_0\)。
确认是否存在该未定权益的复制策略
解：
等价于是否存在一个复制策略\((x,\phi)\)满足：\(V_1(x,\phi) = X\)
可以表示为：
等价于下面的方程有解：
显然无解，因此数字期权\(X\)不可达。
- 结论1：市场不完全性来源于波动率的随机性
- 结论2：随机波动率无法直接交易，因此波动率风险无法被对冲
- 不可达的未定权益不存在复制策略，因此复制原则无效
- 未定权益的价格必须排除套利机会
7.我们说价格\(x\)对于一个一般未定权益\(X\)遵循无套利原则如果它的扩展单期市场模型\(\tilde M = (B,S_1,S_2,...,S_n,S_{n+1})\)满足它的额外资产的财富过程\(S_{n+1}^0 = x,S_{n+1}^1 = X\)。
- \(S_{n+1}\)不是股票，价格可以为负。
- 价格正负对资产定价第一基本定理没有影响。
- 对于任意风险中性概率测度，风险中性定价公式仍然适用。\(x = \frac{1}{1+r}E^{\mathcal Q}(X)\)。
- 满足概率测度也要是它的扩展单期模型的风险中性概率测度。证明：\(x = \frac{1}{1+r}E^{\mathcal Q}(X)，x = \hat{S}_0^{n+1},\frac{X}{1+r} = \hat{S}_1^{n+1},E^{\mathcal Q}(\Delta \hat{S}_1^{n+1}) = 0\)
- 任意风险中性定价公式计算出来的价格都排除了套利机会，真实的世界一般是不完全市场，可能会有多种风险中性概率测度，只有在知道真实的市场价格后才能知道哪个才是“真正的”风险中性概率测度。直到交易完成，才能直到真实的成交价。
8.一个一般单期市场模型被称为完全的，如果对任意未定权益都存在复制策略。
- 一个不完全市场中的一个未定权益是可达的当且仅当风险中性定价公式在不同的风险中性测度下的结果相同。
- 资产定价第二基本定理：完全市场模型存在唯一的风险中性概率测度。
浙公网安备 33010602011771号